Opérations sur les nombres relatifs en 4e : cours et exercices

Objectifs du chapitre

Multiplier deux nombres relatifs en appliquant rigoureusement la règle des signes.
Diviser deux nombres relatifs.
Déterminer le signe d'un produit de plusieurs facteurs selon la parité du nombre de facteurs négatifs.
Distinguer l'opposé d'un nombre de son inverse.
Effectuer des enchaînements d'opérations avec relatifs en respectant les priorités opératoires.

Le cours

1. Règle des signes pour la multiplication et la division

Le produit (ou quotient) de deux nombres de même signe est toujours POSITIF (+) :

$(+4) \times (+5) = +20 \quad \text{et} \quad (-4) \times (-5) = +20$
$\frac{-18}{-3} = +6$

Le produit (ou quotient) de deux nombres de signes différents est toujours NÉGATIF (-) :

$(+6) \times (-3) = -18 \quad \text{et} \quad \frac{-35}{+7} = -5$
Pourquoi $(-) \times (-) = (+)$ ? Multiplier par $-1$ donne l'opposé : $(-4) \times (-5)$ est l'opposé de $4 \times (-5) = -20$ , donc vaut $+20$ .
Moyen mnémotechnique :

L'ami de mon ami est mon ami : $(+) \times (+) \to (+)$
L'ennemi de mon ennemi est mon ami : $(-) \times (-) \to (+)$
L'ami de mon ennemi est mon ennemi : $(+) \times (-) \to (-)$
L'ennemi de mon ami est mon ennemi : $(-) \times (+) \to (-)$

2. Produit de plusieurs facteurs relatifs

Dans un produit comportant plusieurs facteurs non nuls :

Si le nombre de facteurs négatifs est PAIR, alors le produit est POSITIF.
Si le nombre de facteurs négatifs est IMPAIR, alors le produit est NÉGATIF.

Exemples :

$(-2) \times (-3) \times (-5) = -30$ (3 facteurs négatifs, impair $\implies -$ ).
$(-1) \times (-2) \times (-3) \times (-4) = +24$ (4 facteurs négatifs, pair $\implies +$ ).
Tout produit contenant le facteur $0$ est immédiatement égal à $0$ !

3. Opposé d'un nombre vs Inverse d'un nombre

Ne jamais confondre ces deux notions fondamentales !

Opposé : Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à 0 ( $a + (-a) = 0$ ).

- L'opposé de $5$ est $-5$ ; l'opposé de $-\frac{2}{3}$ est $+\frac{2}{3}$ .

Inverse : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1 ( $a \times \frac{1}{a} = 1$ , pour $a \neq 0$ ).

- L'inverse de $a$ est $\frac{1}{a}$ ; l'inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ .
- L'inverse conserve le signe : l'inverse de $-\frac{3}{7}$ est $-\frac{7}{3}$ .
- 0 est le seul nombre qui ne possède aucun inverse !

4. Carré d'un relatif et priorités opératoires

Attention aux parenthèses lors du calcul d'un carré :

$(-5)^2 = (-5) \times (-5) = +25$ : le carré porte sur $(-5)$ , le résultat est positif.
$-5^2 = -(5 \times 5) = -25$ : le carré ne porte que sur 5, le signe $-$ reste devant.
Ordre des calculs : d'abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions (de gauche à droite), et enfin les additions et soustractions (de gauche à droite).
Rappel (5e) : soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : $3 - (-8) = 3 + 8 = 11$ .

À retenir

Produit ou quotient de deux nombres de même signe : positif ; de signes contraires : négatif.
Produit de plusieurs facteurs : positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif s'il est impair.
$(-a)^2 = a^2$ mais $-a^2 = -(a^2)$ .
Opposé : la somme vaut $0$ . Inverse : le produit vaut $1$ ( $0$ n'a pas d'inverse).
On ne divise jamais par $0$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer une expression combinée avec relatifs

Exemple

Calculer $A = -7 + 4 \times (-5) - \frac{-24}{-6} + (-3)^2$ .

Étape 1 (Priorités - Carré et parenthèses) : $(-3)^2 = +9$ .
Étape 2 (Multiplications et divisions) : $4 \times (-5) = -20$ et $\frac{-24}{-6} = +4$ .
Étape 3 (Réécriture) : $A = -7 + (-20) - (+4) + 9$ .
Étape 4 (Règle des gains et pertes) : $A = -7 - 20 - 4 + 9 = -31 + 9 = -22$ .

Méthode : Prévoir le signe puis calculer un quotient de produits

Exemple

Calculer $B = \dfrac{(-6) \times 5 \times (-2)}{(-4) \times 3}$ .

Étape 1 (Signe) : on compte les facteurs négatifs, au numérateur et au dénominateur : $-6$ , $-2$ et $-4$ , soit 3 facteurs négatifs (nombre impair). Le résultat est donc négatif.
Étape 2 (Distance à zéro) : on calcule sans les signes : $\dfrac{6 \times 5 \times 2}{4 \times 3} = \dfrac{60}{12} = 5$ .
Étape 3 (Conclusion) : $B = -5$ .
Vérification : $(-6) \times 5 \times (-2) = +60$ et $(-4) \times 3 = -12$ , donc $B = \dfrac{60}{-12} = -5$ .

Pièges fréquents

Ne pas confondre addition et multiplication : $(-4) + (-3) = -7$ (perte de 4 puis perte de 3), alors que $(-4) \times (-3) = +12$ !
Ne pas confondre $(-6)^2 = +36$ et $-6^2 = -36$ . Sans parenthèse, la puissance s'applique avant le signe moins.
Ne pas confondre opposé et inverse : l'inverse de $-4$ est $-\frac{1}{4} = -0{,}25$ et NON $+4$ .
La règle des signes du produit ne s'applique pas à l'addition : $(-3) + (-5) = -8$ (et non $+8$ ).

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quel est le résultat de

(-7) \times (-8)

?

$+56$ (le produit de deux nombres de même signe est toujours positif).

Quel est le signe de

(-2) \times (-3) \times (-5) \times 4 \times (-7)

?

Positif, car il y a 4 facteurs négatifs et 4 est un nombre pair.

Quel est l'inverse de

-\frac{5}{9}

?

$-\frac{9}{5}$ (l'inverse échange numérateur et dénominateur en conservant le signe négatif).

Combien vaut

-4^2

?

$-16$ , car la puissance 2 ne porte que sur le 4 : $-(4 \times 4) = -16$ (alors que $(-4)^2 = +16$ ).

Quel est le seul nombre réel qui n'a pas d'inverse ?

C'est 0, car la division par 0 est impossible et aucun nombre multiplié par 0 ne peut donner 1.

Calculer

\dfrac{-48}{-6}

.

$+8$ (quotient de deux nombres de même signe).

Calculer

3 - 4 \times (-2)

.

$3 - (-8) = 3 + 8 = 11$ (la multiplication est prioritaire).

Exercices corrigés

Exercice 1 Multiplication de deux relatifs

Palier 1 · découverte

Calculer le produit suivant :
$A = (-6) \times (+7)$

Un indice

Les deux nombres ont des signes différents : le résultat est négatif.

Voir la correction

Réponse attendue : -42

Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif :
$A = -(6 \times 7) = -42$

Exercice 2 Produit de deux nombres négatifs

Palier 2 · application

Calculer le produit suivant :
$B = (-8) \times (-9)$

Un indice

Moins par moins donne plus !

Voir la correction

Réponse attendue : 72

Le produit de deux nombres négatifs est strictement positif :
$B = + (8 \times 9) = 72$

Exercice 3 Enchaînement avec division et priorités

Palier 3 · approfondissement

Calculer la valeur numérique de l'expression suivante :
$C = \frac{(-24) + (-16)}{-8} - 3 \times (-5)$

Un indice

Effectue le quotient sans quitter l'écriture de la fraction : $C = \frac{(-24) + (-16)}{-8} = \frac{-40}{-8} = 5$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 20

$C = \frac{(-24) + (-16)}{-8} - 3 \times (-5) = \frac{-40}{-8} - (-15) = 5 + 15 = 20$

Exercice 4 Défi 3ème : Chaîne complexe de relatifs avec puissances et quotient

Palier 4 · défi

Calculer la valeur exacte de l'expression suivante :
$D = \frac{(-4) \times (-6) \times (-5)}{(-2) \times 15} - (-3)^2 \times (-1)^5$

Un indice

Calcule le quotient sous forme d'une seule fraction : $\frac{(-4) \times (-6) \times (-5)}{(-2) \times 15} = \frac{-120}{-30} = 4$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 13

$D = \frac{(-4) \times (-6) \times (-5)}{(-2) \times 15} - (-3)^2 \times (-1)^5 = \frac{-120}{-30} - 9 \times (-1) = 4 - (-9) = 4 + 9 = 13$