Cours et exercices corrigés de 4e : Calcul littéral et résolution d'équations du premier degré

1. Vocabulaire du calcul littéral et des équations

• Expression littérale : expression contenant des nombres et des lettres désignant des variables ou inconnues.
• Inconnue : lettre qui cache un nombre dont on cherche la valeur.
• Équation : égalité comportant une ou plusieurs inconnues (ex: $5x - 3 = 2x + 9$).
• Résoudre une équation : trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.
• Solution : valeur numérique de l'inconnue qui vérifie l'égalité.
• Vérification : calcul séparé de chaque membre en remplaçant l'inconnue par la solution trouvée.

2. Distributivité simple et suppression de parenthèses

• Distributivité simple : transformer un produit en somme ou différence :

$$k(a + b) = k \times a + k \times b = ka + kb$$
$$k(a - b) = k \times a - k \times b = ka - kb$$

• Suppression de parenthèses :

- Précédées d'un signe $+$ : on supprime les parenthèses sans rien changer : $a + (b - c) = a + b - c$.
- Précédées d'un signe $-$ : on change TOUS les signes à l'intérieur : $a - (b - c) = a - b + c$.

• Double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :

$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

• Factoriser (sens inverse) : $6x + 9 = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 3(2x + 3)$.

3. Réduction d'une expression littérale

Réduire, c'est regrouper les termes possédant la même lettre affectée du même exposant (par familles) :
$$E = 3x^2 + 5x - 7 + 2x^2 - 8x + 12$$
$$E = (3x^2 + 2x^2) + (5x - 8x) + (-7 + 12) = 5x^2 - 3x + 5$$

4. Résolution pas-à-pas d'une équation : « Ce qui change de côté change de signe »

Pour résoudre $ax + b = cx + d$ :
1. Séparer les familles : regrouper les termes en $x$ d'un côté (souvent à gauche) et les nombres constants de l'autre côté (à droite). Tout terme déplacé change de signe !
2. Réduire les deux membres pour obtenir une forme $Ax = B$.
3. Isoler l'inconnue en divisant par le coefficient $A$ devant $x$ : $x = \frac{B}{A}$.

Pourquoi ça marche ? On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, et multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul : l'égalité reste vraie. « Changer de côté en changeant de signe » n'est qu'un raccourci de cette règle.

À retenir

• Développer : $k(a + b) = ka + kb$ et $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.
• Un signe $-$ devant une parenthèse change le signe de tous les termes qu'elle contient.
• Réduire : on regroupe les termes en $x^2$, en $x$, puis les nombres.
• Résoudre : on isole $x$ en effectuant la même opération sur les deux membres, puis on vérifie la solution.
• Problème : choisir l'inconnue, écrire l'équation, résoudre, vérifier, conclure par une phrase.