Fractions en 4e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Calculer le produit de fractions de nombres relatifs en décomposant avant de calculer.
Connaître la définition de l'inverse d'une fraction non nulle.
Diviser deux fractions en multipliant par l'inverse du diviseur.
Additionner et soustraire des fractions en trouvant le dénominateur commun.
Respecter les priorités opératoires dans les expressions fractionnaires.

Le cours

1. Multiplication de fractions

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \quad (b \neq 0, d \neq 0)$
Conseil : on détermine d'abord le signe, puis on décompose les nombres en produits de facteurs pour simplifier avant d'effectuer les multiplications.
$\frac{-15}{14} \times \frac{21}{-25} = +\frac{15 \times 21}{14 \times 25} = \frac{(3 \times 5) \times (3 \times 7)}{(2 \times 7) \times (5 \times 5)} = \frac{9}{10}$

2. Inverse d'un nombre relatif non nul

Deux nombres relatifs non nuls sont dits inverses si leur produit est égal à 1 :
$x \times \frac{1}{x} = 1$

L'inverse de l'entier $a$ ( $a \neq 0$ ) est $\frac{1}{a}$ .
L'inverse de la fraction $\frac{a}{b}$ ( $a \neq 0, b \neq 0$ ) est la fraction $\frac{b}{a}$ .
L'inverse conserve le signe : l'inverse de $-\frac{4}{11}$ est $-\frac{11}{4}$ .

3. Division de fractions

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse :
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \quad (b, c, d \neq 0)$
Écriture sous forme de grand trait de fraction :
$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

4. Addition et soustraction : réduire au même dénominateur

Si les dénominateurs sont égaux, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur :

$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d} \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a-b}{d}$

Sinon, on réduit d'abord au même dénominateur, de préférence le plus petit multiple commun des dénominateurs :

$\frac{5}{6} - \frac{7}{4} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} - \frac{7 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} - \frac{21}{12} = \frac{-11}{12} = -\frac{11}{12}$

Dans le cas général : $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d + c \times b}{b \times d}$ (puis on simplifie si possible).

À retenir

Multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux (en simplifiant avant).
Diviser par $\dfrac{c}{d}$ (non nul), c'est multiplier par $\dfrac{d}{c}$ .
Additionner ou soustraire : seulement avec un dénominateur commun.
« Prendre une fraction de » se traduit par une multiplication.
On donne toujours le résultat sous forme irréductible.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Enchaînement d'opérations avec fractions

Exemple

Calculer $B = \frac{2}{3} - \frac{5}{3} \times \frac{6}{25}$ sous forme irréductible.

Étape 1 (Priorité) : La multiplication est prioritaire sur la soustraction.
Étape 2 (Simplification du produit) : $\frac{5 \times 6}{3 \times 25} = \frac{5 \times (3 \times 2)}{3 \times (5 \times 5)} = \frac{2}{5}$ .
Étape 3 (Mise au même dénominateur) : $B = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} - \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15}$ .
Étape 4 (Calcul et conclusion) : $B = \frac{10 - 6}{15} = \frac{4}{15}$ (fraction irréductible).

Méthode : Calculer un quotient de fractions

Exemple

Calculer $C = \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}\right) \div \dfrac{5}{6}$ et donner le résultat sous forme irréductible.

Étape 1 (Parenthèses d'abord) : $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$ .
Étape 2 (Diviser = multiplier par l'inverse) : $C = \dfrac{5}{12} \div \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{12} \times \dfrac{6}{5}$ .
Étape 3 (Simplifier avant de multiplier) : $C = \dfrac{5 \times 6}{(2 \times 6) \times 5} = \dfrac{1}{2}$ .

Méthode : Résoudre un problème de « fraction d'une fraction »

Exemple

Léa dépense $\dfrac{2}{5}$ de son argent de poche pour un livre, puis $\dfrac{1}{3}$ du reste pour une place de cinéma. Quelle fraction de son argent de poche lui reste-t-il ?

Étape 1 (Reste après le livre) : $1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$ .
Étape 2 (« $\frac{1}{3}$ du reste » = un produit) : $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$ de l'argent de poche est dépensé au cinéma.
Étape 3 (Reste final) : $\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}$ .
Conclusion : il lui reste $\dfrac{2}{5}$ de son argent de poche. (Avec 30 € : livre 12 €, cinéma 6 €, reste 12 €, et $\frac{2}{5} \times 30 = 12$ .)

Pièges fréquents

Ne jamais additionner les dénominateurs : $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$ et NON $\frac{3}{10}$ !
Lors d'une division, n'inverser QUE la deuxième fraction (le diviseur) : $\frac{3}{4} \div \frac{5}{7} = \frac{3}{4} \times \frac{7}{5}$ .
Pas de simplification « en croix » à travers un signe $\div$ : on transforme d'abord la division en multiplication par l'inverse, puis on simplifie.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la règle pour diviser par une fraction non nulle ?

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ .

Quel est l'inverse du nombre

-7

?

$-\frac{1}{7}$ (l'inverse conserve le signe négatif car $(-7) \times (-\frac{1}{7}) = 1$ ).

Calculer de tête :

\frac{3}{4} \times \frac{4}{9}

.

$\frac{1}{3}$ (on simplifie par 4 au numérateur et au dénominateur, et $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ).

Que vaut

\frac{5}{8} - \frac{3}{8}

sous forme irréductible ?

$\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ (on soustrait les numérateurs et on simplifie par 2).

Quelle opération effectue-t-on en premier dans

\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times \frac{2}{5}

?

La multiplication $\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}$ est prioritaire sur l'addition.

Calculer

\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{8}

.

$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$ .

Calculer

\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4}

.

$\dfrac{2}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{11}{12}$ (dénominateur commun 12).

Exercices corrigés

Exercice 1 Produit de deux fractions

Palier 1 · découverte

Calculer et simplifier :
$P = \frac{3}{5} \times \frac{10}{7}$

Un indice

Multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Voir la correction

Réponse attendue : 6/7

$P = \frac{3 \times (5 \times 2)}{5 \times 7} = \frac{3 \times 2}{7} = \frac{6}{7}$

Exercice 2 Division de deux fractions

Palier 2 · application

Calculer et donner sous forme irréductible :
$Q = \frac{4}{9} \div \frac{2}{3}$

Un indice

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{4}{9} \times \frac{3}{2}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 2/3

$Q = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Exercice 3 Priorités et 4 opérations sur les fractions

Palier 3 · approfondissement

Calculer sous forme de fraction irréductible :
$R = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{4}{15}$

Un indice

La multiplication est prioritaire : calcule d'abord $\frac{5}{6} \times \frac{4}{15}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 8/9

1. Produit : $\frac{5}{6} \times \frac{4}{15} = \frac{2}{9}$ .
2. Somme : $\frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9}$ .

Exercice 4 Défi 3ème : Fraction à étages complexe (Quotient composé)

Palier 4 · défi

Calculer la valeur exacte sous forme de fraction irréductible de :
$F = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{4}}{\frac{5}{6} + \frac{1}{2}}$

Un indice

Mets les fractions au même dénominateur en gardant l’expression entière : $F = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{4}}{\frac{5}{6} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{8}{12} - \frac{3}{12}}{\frac{5}{6} + \frac{1}{2}}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 5/16

On calcule d'abord les deux expressions de la fraction à étages, puis on conserve le quotient entier :
$F = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{4}}{\frac{5}{6} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{8}{12} - \frac{3}{12}}{\frac{5}{6} + \frac{3}{6}} = \frac{\frac{5}{12}}{\frac{8}{6}} = \frac{5}{12} \div \frac{4}{3} = \frac{5}{12} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}.$