Puissances d'un nombre en 4e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Définir $a^n$ pour un exposant entier positif et pour un exposant négatif ( $a^{-n} = 1/a^n$ ).
Connaître les conventions fondamentales : $a^0 = 1$ , $a^1 = a$ , $0^n = 0$ , $1^n = 1$ .
Appliquer les 5 formules de calcul sur les puissances d'un même nombre.
Manipuler les puissances de 10 et les écritures décimales.
Écrire un nombre en notation scientifique et maîtriser les préfixes métriques (nano à téra).

Le cours

1. Définition et cas particuliers

Soit $a$ un nombre relatif et $n$ un entier positif non nul :
$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} \quad (a \text{ est la base, } n \text{ est l'exposant})$

$a^1 = a$ et par convention, pour tout $a \neq 0$ , $a^0 = 1$ (ex: $2026^0 = 1$ ).
$0^n = 0$ ( $n > 0$ ) et $1^n = 1$ .
Exposant négatif ( $a \neq 0$ ) : $a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$ :

$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{Exemple : } 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0{,}04$

2. Les 5 règles de calcul sur les puissances

Pour tous entiers relatifs $m$ et $n$ , et nombres non nuls $a$ et $b$ (en 4e, on les utilise surtout avec les puissances de 10) :
1. Produit : $a^m \times a^n = a^{m+n}$
2. Quotient : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
3. Puissance de puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$
4. Produit de bases : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
5. Quotient de bases : $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Exemple : $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5 + (-2)} = 10^3$ et $\dfrac{10^4}{10^{-3}} = 10^{4 - (-3)} = 10^7$ .

3. Puissances de 10

Pour $n > 0$ : $10^n = 1\underbrace{00\dots0}_{n \text{ zéros}}$ ( $10^3 = 1\,000$ ; $10^6 = 1\,000\,000$ ).
Pour $n > 0$ : $10^{-n} = \frac{1}{10^n} = \underbrace{0{,}00\dots0}_{n \text{ zéros au total}}1$ ( $10^{-1} = 0{,}1$ ; $10^{-3} = 0{,}001$ ).
Multiplier par $10^n$ décale la virgule de $n$ rangs vers la droite.
Multiplier par $10^{-n}$ décale la virgule de $n$ rangs vers la gauche.

4. Notation scientifique et préfixes métriques

La notation scientifique d'un nombre s'écrit sous la forme unique :
$a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \le |a| < 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}$
Préfixes à connaître par cœur :

Téra (T) = $10^{12}$ | Giga (G) = $10^9$ | Méga (M) = $10^6$ | Kilo (k) = $10^3$
milli (m) = $10^{-3}$ | micro ( $\mu$ ) = $10^{-6}$ | nano (n) = $10^{-9}$

À retenir

$a^n$ : produit de $n$ facteurs égaux à $a$ ; $a^0 = 1$ et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ( $a \neq 0$ ).
$10^n \times 10^p = 10^{n+p}$ ; $\dfrac{10^n}{10^p} = 10^{n-p}$ ; $(10^n)^p = 10^{n \times p}$ .
$10^{-n}$ est un nombre positif : $10^{-2} = 0{,}01$ .
Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec un seul chiffre non nul avant la virgule ( $1 \le a < 10$ pour un nombre positif).

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Écrire un nombre en notation scientifique

Exemple

Écrire $A = 45\,800\,000$ et $B = 0{,}000\,32$ en notation scientifique.

Pour A ( $45\,800\,000$ ) : On place la virgule après le premier chiffre non nul : $4{,}58$ . On compte le décalage de la virgule vers la gauche (+7 rangs) $\implies A = 4{,}58 \times 10^7$ .
Pour B ( $0{,}000\,32$ ) : On place la virgule après le 3 : $3{,}2$ . On compte le décalage vers la droite (4 rangs) $\implies B = 3{,}2 \times 10^{-4}$ .

Méthode : Calculer avec des puissances de 10 et donner l'écriture scientifique

Exemple

Calculer $D = \dfrac{3 \times 10^4 \times 8 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-3}}$ et donner le résultat en notation scientifique puis en écriture décimale.

Étape 1 (Regrouper) : on sépare les nombres et les puissances de 10 : $D = \dfrac{3 \times 8}{6} \times \dfrac{10^4 \times 10^{-6}}{10^{-3}}$ .
Étape 2 (Nombres) : $\dfrac{3 \times 8}{6} = \dfrac{24}{6} = 4$ .
Étape 3 (Puissances de 10) : $\dfrac{10^{4 + (-6)}}{10^{-3}} = \dfrac{10^{-2}}{10^{-3}} = 10^{-2 - (-3)} = 10^1$ .
Étape 4 (Conclusion) : $D = 4 \times 10^1$ (notation scientifique, car $1 \le 4 < 10$ ), soit $D = 40$ .

Méthode : Utiliser les préfixes et comparer des ordres de grandeur

Exemple

Un virus mesure $120$ nm et une bactérie $2\ \mu$ m. Exprimer ces longueurs en mètres en notation scientifique, puis dire combien de fois la bactérie est plus longue que le virus.

Étape 1 (Virus) : $1$ nm $= 10^{-9}$ m, donc $120$ nm $= 120 \times 10^{-9}$ m $= 1{,}2 \times 10^2 \times 10^{-9}$ m $= 1{,}2 \times 10^{-7}$ m.
Étape 2 (Bactérie) : $1\ \mu$ m $= 10^{-6}$ m, donc $2\ \mu$ m $= 2 \times 10^{-6}$ m.
Étape 3 (Comparer) : $\dfrac{2 \times 10^{-6}}{1{,}2 \times 10^{-7}} = \dfrac{2}{1{,}2} \times 10^{-6 - (-7)} = \dfrac{2}{1{,}2} \times 10 \approx 16{,}7$ .
Conclusion : la bactérie est environ 17 fois plus longue que le virus.

Pièges fréquents

$2^3 \neq 6$ ! $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ . Ne jamais multiplier la base par l'exposant !
$10^{-3}$ n'est PAS un nombre négatif ! $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = 0{,}001 > 0$ . Un exposant négatif indique un inverse, pas un signe négatif.
Dans la notation scientifique $a \times 10^n$ , $a$ doit être strictement inférieur à 10 : $34 \times 10^5$ n'est pas scientifique, il faut écrire $3{,}4 \times 10^6$ .
Pour multiplier des puissances, on additionne les exposants ; pour une somme on ne peut rien faire : $10^2 + 10^3 = 1\,100$ , ce n'est pas $10^5$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Combien vaut

7^0

?

$1$ (tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1).

Quelle est l'écriture fractionnaire de

4^{-3}

?

$\frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$ .

Simplifier

5^4 \times 5^3

.

$5^{4+3} = 5^7$ (on additionne les exposants lors d'un produit de même base).

Quelle est la notation scientifique de

0{,}0052

?

$5{,}2 \times 10^{-3}$ (car on décale la virgule de 3 rangs vers la droite pour avoir $1 \le 5{,}2 < 10$ ).

À quelle puissance de 10 correspond le préfixe « micro » (

\mu

) ?

$10^{-6}$ (un millionième d'unité).

Simplifier

10^{-4} \times 10^{6}

.

$10^{-4 + 6} = 10^2$ .

Écrire

0{,}000\,7

en notation scientifique.

$7 \times 10^{-4}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Écriture décimale d'une puissance de 10

Palier 1 · découverte

Donner l'écriture décimale du nombre suivant :
$N = 10^4$

Un indice

$10^4$ s'écrit avec le chiffre 1 suivi de 4 zéros.

Voir la correction

Réponse attendue : 10000

$10^4 = 10\,000$

Exercice 2 Règles de calcul sur les puissances de 10

Palier 2 · application

Écrire sous la forme $10^n$ :
$P = \frac{10^5 \times 10^{-2}}{10^7}$
Donner la valeur de l'exposant $n$ .

Un indice

Garde toute la fraction dans le calcul : $P = \frac{10^5 \times 10^{-2}}{10^7} = \frac{10^{5 - 2}}{10^7} = \frac{10^3}{10^7}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : -4

$P = \frac{10^3}{10^7} = 10^{3 - 7} = 10^{-4} \implies n = -4$

Exercice 3 Notation scientifique d'un grand nombre

Palier 3 · approfondissement

La distance moyenne Terre-Soleil est d'environ $149\,600\,000\text{ km}$ .
Son écriture scientifique s'écrit $1{,}496 \times 10^k$ .
Donner la valeur de l'entier $k$ .

Un indice

Compte le nombre de crans vers la gauche pour passer de $149\,600\,000$ à $1{,}496$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 8

$149\,600\,000 = 1{,}496 \times 10^8 \implies k = 8$

Exercice 4 Défi 3ème : Grand quotient de puissances (Notation scientifique)

Palier 4 · défi

On donne l'expression suivante :
$C = \frac{4 \times 10^7 \times 15 \times 10^{-3}}{6 \times (10^2)^3}$
L'écriture scientifique de $C$ est de la forme $a \times 10^k$ avec $1 \le a < 10$ .
Donner la valeur de l'exposant $k$ .

Un indice

Réécris toute la fraction en simplifiant les produits : $C = \frac{4 \times 10^7 \times 15 \times 10^{-3}}{6 \times (10^2)^3} = \frac{60 \times 10^4}{6 \times 10^6}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : -1

$C = \frac{60 \times 10^4}{6 \times 10^6} = 10 \times 10^{-2} = 1 \times 10^{-1} \implies k = -1$