Cours et exercices corrigés de 4e : Racines carrées et carrés parfaits

1. Définition de la racine carrée

Soit $a$ un nombre positif ou nul ($a \ge 0$) :
La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré est égal à $a$ :
$$(\sqrt{a})^2 = a \quad \text{et} \quad \sqrt{a^2} = a \quad (\text{pour } a \ge 0)$$
Exemple : Le nombre positif dont le carré est 49 est 7, donc $\sqrt{49} = 7$.

2. Les carrés parfaits de 0 à 12 à connaître par cœur

• $0^2 = 0 \implies \sqrt{0} = 0$
• $1^2 = 1 \implies \sqrt{1} = 1$
• $2^2 = 4 \implies \sqrt{4} = 2$
• $3^2 = 9 \implies \sqrt{9} = 3$
• $4^2 = 16 \implies \sqrt{16} = 4$
• $5^2 = 25 \implies \sqrt{25} = 5$
• $6^2 = 36 \implies \sqrt{36} = 6$
• $7^2 = 49 \implies \sqrt{49} = 7$
• $8^2 = 64 \implies \sqrt{64} = 8$
• $9^2 = 81 \implies \sqrt{81} = 9$
• $10^2 = 100 \implies \sqrt{100} = 10$
• $11^2 = 121 \implies \sqrt{121} = 11$
• $12^2 = 144 \implies \sqrt{144} = 12$

3. Règle d'existence : pas de racine de nombre négatif

D'après la règle des signes, le carré de tout nombre relatif est toujours positif ou nul :
$$(+5)^2 = 25 \quad \text{et} \quad (-5)^2 = 25$$
Ainsi, il est impossible de trouver un nombre dont le carré est $-25$ :
$$\sqrt{-25} \quad \text{N'EXISTE PAS dans les nombres réels !}$$

4. Encadrement et valeur exacte vs arrondie

Si l'entier $a$ n'est pas un carré parfait, $\sqrt{a}$ n'est pas un nombre décimal (on ne peut pas l'écrire exactement avec une virgule) : on donne alors sa valeur exacte ou une valeur arrondie.

• Valeur exacte : on conserve le symbole radical, par exemple $\sqrt{40}$ cm.
• Valeur arrondie : obtenue avec la touche $\sqrt{}$ de la calculatrice, par exemple $\sqrt{40} \approx 6{,}32$ cm.
• Encadrement sans calculatrice : Comme $36 < 40 < 49$, alors $\sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49}$, soit $6 < \sqrt{40} < 7$.

À retenir

• Pour $a \ge 0$, $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $(\sqrt{a})^2 = a$.
• Carrés parfaits à connaître : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$.
• $\sqrt{a}$ n'existe pas si $a < 0$.
• Pour encadrer $\sqrt{a}$ : on encadre $a$ par deux carrés parfaits consécutifs.
• Valeur exacte : $\sqrt{30}$ ; valeur approchée : $\sqrt{30} \approx 5{,}5$ (avec le signe $\approx$).