5e · Espace et Géométrie · 5G5

Cours et exercices corrigés de 5e : Parallélogrammes et quadrilatères particuliers

Propriétés du parallélogramme, constructions, aire, et parallélogrammes particuliers (rectangle, losange, carré).

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Objectifs du chapitre

Connaître la définition du parallélogramme et ses propriétés (côtés, angles, diagonales, centre de symétrie).
Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme à l'aide d'une propriété caractéristique.
Connaître et utiliser les propriétés du rectangle, du losange et du carré.
Construire un parallélogramme ou un quadrilatère particulier.
Calculer l'aire d'un parallélogramme : $\mathcal{A} = b \times h$ .

Le cours

1. Définition et propriétés du parallélogramme

Définition : un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Propriétés : si $ABCD$ est un parallélogramme, alors

ses côtés opposés ont la même longueur : $AB = CD$ et $AD = BC$ ;
ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu $O$ ;
ses angles opposés ont la même mesure, et deux angles consécutifs sont supplémentaires ;
le point $O$ est son centre de symétrie.

2. Reconnaître un parallélogramme

Un quadrilatère non croisé est un parallélogramme si l'une de ces conditions est vérifiée :

ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (définition) ;
ses diagonales se coupent en leur milieu ;
ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
deux de ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

3. Rectangle, losange et carré

	Côtés	Angles	Diagonales
Rectangle	opposés parallèles et égaux	4 angles droits	même milieu, même longueur
Losange	4 côtés égaux	angles opposés égaux	même milieu, perpendiculaires
Carré	4 côtés égaux	4 angles droits	même milieu, même longueur, perpendiculaires

Ce sont des parallélogrammes particuliers. Pour les reconnaître :

un parallélogramme qui a un angle droit (ou des diagonales de même longueur) est un rectangle ;
un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux (ou des diagonales perpendiculaires) est un losange ;
un quadrilatère qui est à la fois rectangle et losange est un carré.

4. Aire du parallélogramme

\mathcal{A} = b \times h

où

h

est la hauteur relative à la base

b

(distance entre la base et le côté opposé, mesurée perpendiculairement). Exemple : base

7{,}5\text{ cm}

et hauteur

4\text{ cm}

\mathcal{A} = 7{,}5 \times 4 = 30\text{ cm}^2

À retenir

Parallélogramme : côtés opposés parallèles et de même longueur, diagonales de même milieu.
Rectangle : diagonales de même longueur ; losange : diagonales perpendiculaires ; carré : les deux.
$\mathcal{A} = b \times h$ avec la hauteur perpendiculaire à la base.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Exemple

Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme sachant que ses diagonales se coupent en leur milieu $O$ .

On sait que : les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu $O$ .
Or : si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
Donc : $ABCD$ est un parallélogramme.

Méthode : Calculer des longueurs dans un parallélogramme

Exemple

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$ avec $AB = 9\text{ cm}$ , $BC = 5\text{ cm}$ et $AC = 12\text{ cm}$ . Calculer $CD$ , $AD$ , $OA$ et le périmètre.

Étape 1 : Les côtés opposés ont la même longueur : $CD = AB = 9\text{ cm}$ et $AD = BC = 5\text{ cm}$ .
Étape 2 : Les diagonales se coupent en leur milieu : $OA = AC \div 2 = 6\text{ cm}$ .
Étape 3 : Périmètre : $2 \times (9 + 5) = 28\text{ cm}$ .

Méthode : Démontrer qu'un parallélogramme est un losange

Exemple

$EFGH$ est un parallélogramme tel que $EF = FG = 4\text{ cm}$ . Quelle est sa nature ?

On sait que : $EFGH$ est un parallélogramme et ses côtés consécutifs $[EF]$ et $[FG]$ ont la même longueur.
Or : un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
Donc : $EFGH$ est un losange (ses quatre côtés mesurent $4\text{ cm}$ ).

Pièges fréquents

Attention à l'ordre des lettres : le quadrilatère $ABCD$ a pour diagonales $[AC]$ et $[BD]$ (et non $[AB]$ ).
L'aire du parallélogramme est $b \times h$ et NON le produit de deux côtés consécutifs !
Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires n'est pas forcément un losange : il faut aussi qu'elles se coupent en leur milieu (contre-exemple : le cerf-volant).
Un carré est aussi un rectangle et un losange : il possède toutes leurs propriétés.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la propriété des diagonales d'un parallélogramme ?

Elles se coupent en leur milieu.

Qu'est-ce qu'un losange ?

Un parallélogramme qui a ses 4 côtés de même longueur (ou ses diagonales perpendiculaires).

Quelle est la formule de l'aire d'un parallélogramme de base b et de hauteur h ?

$\mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} = b \times h$

Que sait-on des diagonales d'un rectangle ?

Elles se coupent en leur milieu et ont la même longueur.

Un parallélogramme a un angle droit. Quelle est sa nature ?

C'est un rectangle.

Aire d'un parallélogramme de base

6\text{ cm}

et de hauteur

3{,}5\text{ cm}

$6 \times 3{,}5 = 21\text{ cm}^2$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Propriété des côtés d'un parallélogramme

Palier 1 · découverte

Dans un parallélogramme $ABCD$ , on sait que $AB = 9\text{ cm}$ et $BC = 5\text{ cm}$ . Quelle est la longueur du côté $CD$ en cm ?

Un indice

Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.

Voir la correction

Réponse attendue : 9

Les côtés opposés $[AB]$ et $[CD]$ ont la même longueur, donc $CD = AB = 9\text{ cm}$ .

Exercice 2 Aire d'un parallélogramme

Palier 2 · application

Calculer l'aire d'un parallélogramme de base $b = 8\text{ cm}$ et de hauteur relative $h = 4,5\text{ cm}$ en $\text{cm}^2$ :

Un indice

Formule : $\text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 36

$\text{Aire} = 8 \times 4,5 = 36\text{ cm}^2$

Exercice 3 Reconnaître un losange

Palier 3 · approfondissement

Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un...

Losange
Rectangle
Trapèze
Cône

Un indice

Passe en revue les parallélogrammes particuliers : lequel est caractérisé par des diagonales perpendiculaires (et non par des diagonales de même longueur) ?

Voir la correction

Bonne réponse : A. Losange

Exact : les diagonales perpendiculaires caractérisent le losange parmi les parallélogrammes.

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.

Exercice 4 Défi : Diagonales du rectangle et cercle

Palier 4 · défi

Dans un rectangle $ABCD$ de centre $O$ , la diagonale $[AC]$ mesure $10\text{ cm}$ . Que vaut la longueur $OB$ en cm ?

Un indice

Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu.

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Réponse attendue : 5

Les diagonales ont même longueur ( $BD = AC = 10\text{ cm}$ ) et se coupent en leur milieu $O$ , donc $OB = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$ .