Repérage sur une droite en 5e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Lire et placer des nombres relatifs (abscisses) sur une droite graduée.
Calculer la distance entre deux points d'une droite graduée.
Lire les coordonnées d'un point dans un repère orthogonal du plan.
Placer un point de coordonnées relatives données.
Utiliser les coordonnées pour trouver le symétrique d'un point par rapport à un axe ou à l'origine.

Le cours

1. Droite graduée et abscisse

Chaque point d'une droite graduée est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse. L'origine $O$ a pour abscisse 0.

Les nombres positifs se trouvent à droite de l'origine.
Les nombres négatifs se trouvent à gauche de l'origine.

La distance entre deux points d'abscisses $a$ et $b$ (avec $a < b$ ) est $b - a$ . Exemple : pour $A(-2)$ et $B(2)$ , $AB = 2 - (-2) = 4$ unités.

2. Repère orthogonal du plan

Dans un repère orthogonal, la position d'un point $M$ est donnée par un couple de nombres noté $M(x ; y)$ :

$x$ est l'abscisse (axe horizontal, orienté de gauche à droite).
$y$ est l'ordonnée (axe vertical, orienté de bas en haut).

On écrit toujours l'abscisse en premier (ordre alphabétique : $x$ puis $y$ ).

Un point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle, par exemple $(4 ; 0)$ ; un point de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle, par exemple $(0 ; -3)$ .

3. Symétriques dans un repère

Pour un point $A(x ; y)$ :

Symétrie par rapport à	Image	Si $A(2 ; 5)$
axe des abscisses	$(x ; -y)$	$(2 ; -5)$
axe des ordonnées	$(-x ; y)$	$(-2 ; 5)$
origine $O$	$(-x ; -y)$	$(-2 ; -5)$

(La symétrie par rapport à l'origine est la symétrie centrale de centre

O

.)
On le vérifie sur un quadrillage : la symétrie par rapport à l'axe des abscisses « retourne » le point de haut en bas, la coordonnée

x

ne change pas.

4. Milieu d'un segment

Sur une droite graduée, l'abscisse du milieu $M$ de $[AB]$ est la moyenne des deux abscisses :

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \qquad \text{exemple : } A(-3) \text{ et } B(5) \text{ donnent } x_M = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

Pour aller plus loin (formule étudiée au lycée, utile pour le défi) : dans un repère du plan, le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées

$M\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

À retenir

Sur une droite graduée, chaque point a une abscisse ; les négatifs sont à gauche de l'origine.
Dans le plan, $M(x ; y)$ : $x$ = abscisse (horizontale), $y$ = ordonnée (verticale), toujours dans cet ordre.
Distance sur une droite graduée : plus grande abscisse moins plus petite abscisse.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Placer un point dans un repère

Exemple

Placer le point $A(-4 ; 3)$ dans un repère orthogonal.

Étape 1 : Partir de l'origine $O(0;0)$ .
Étape 2 : Se déplacer de 4 unités vers la gauche sur l'axe des abscisses ( $x = -4$ ).
Étape 3 : Monter de 3 unités sur l'axe des ordonnées ( $y = +3$ ) et placer $A$ .

Méthode : Lire les coordonnées d'un point

Exemple

Un point $B$ est situé $2$ unités à droite de l'axe des ordonnées et $3$ unités sous l'axe des abscisses. Quelles sont ses coordonnées ?

Étape 1 : On « descend » (ou on monte) verticalement depuis $B$ jusqu'à l'axe des abscisses et on lit l'abscisse : $2$ .
Étape 2 : On se déplace horizontalement depuis $B$ jusqu'à l'axe des ordonnées et on lit l'ordonnée : $B$ est sous l'axe, donc $-3$ .
Conclusion : $B(2 ; -3)$ — abscisse d'abord, ordonnée ensuite.

Méthode : Calculer une distance et un milieu sur une droite graduée

Exemple

Sur une droite graduée, $A(-3{,}5)$ et $B(2)$ . Calculer $AB$ et l'abscisse du milieu $M$ de $[AB]$ .

Étape 1 : $B$ a la plus grande abscisse : $AB = 2 - (-3{,}5) = 2 + 3{,}5 = 5{,}5$ unités.
Étape 2 : $x_M = \frac{-3{,}5 + 2}{2} = \frac{-1{,}5}{2} = -0{,}75$ .
Vérification : $MA = -0{,}75 - (-3{,}5) = 2{,}75$ et $MB = 2 - (-0{,}75) = 2{,}75$ : $M$ est bien à égale distance de $A$ et de $B$ .

Pièges fréquents

Ne pas intervertir l'abscisse et l'ordonnée : le premier nombre est toujours horizontal, le deuxième vertical !
Le point $(0 ; 3)$ est sur l'axe des ordonnées (son abscisse est nulle), et non sur l'axe des abscisses.
Lire d'abord la graduation : une unité ne correspond pas toujours à un carreau.
Une distance est toujours positive : $AB = 2 - (-3{,}5) = 5{,}5$ , et non $2 - 3{,}5$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelles sont les coordonnées de l'origine d'un repère ?

$O(0 ; 0)$ : abscisse 0 et ordonnée 0.

Dans les coordonnées d'un point

M(3 ; -4)

, quel nombre est l'abscisse ?

$3$ est l'abscisse (lu sur l'axe horizontal) et $-4$ est l'ordonnée (lu sur l'axe vertical).

Sur une droite graduée, où se situent les nombres négatifs par rapport à zéro ?

À gauche de l'origine 0 (ou vers le bas si la graduation est verticale).

Que peut-on dire de l'abscisse du milieu

M

d'un segment

[AB]

?

L'abscisse de $M$ est la moyenne des abscisses de $A$ et $B$ : $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

Quel est le symétrique de

A(2 ; 5)

par rapport à l'axe des abscisses ?

$A'(2 ; -5)$ : l'abscisse est conservée, l'ordonnée change de signe.

Sur une droite graduée, quelle est la distance entre

A(-3)

et

B(4)

?

$AB = 4 - (-3) = 7$ unités.

Exercices corrigés

Exercice 1 Abscisse sur une droite graduée

Palier 1 · découverte

Sur une droite graduée d'origine $O$ , le point $A$ a pour abscisse $-4$ . Quelle est la distance $OA$ ?

Un indice

La distance à zéro d'un nombre est toujours positive.

Voir la correction

Réponse attendue : 4

La distance entre l'origine et le point d'abscisse $-4$ est égale à $4$ unités.

Exercice 2 Lecture de coordonnées dans le plan

Palier 2 · application

Dans un repère orthogonal, le point $M$ a pour coordonnées $(3 ; -5)$ . Quelle est l'ordonnée de ce point ?

Un indice

Les coordonnées s'écrivent sous la forme $(\text{abscisse} ; \text{ordonnée})$ .

Voir la correction

Réponse attendue : -5

L'abscisse est 3 (axe horizontal) et l'ordonnée est $-5$ (axe vertical).

Exercice 3 Symétrie par rapport aux axes

Palier 3 · approfondissement

Dans un repère orthogonal, le point $A$ a pour coordonnées $(2 ; 5)$ . Quelles sont les coordonnées de son symétrique $A'$ par rapport à l'axe des abscisses ?

(2 ; -5)
(-2 ; 5)
(-2 ; -5)
(5 ; 2)

Un indice

Par la symétrie d'axe des abscisses, le point reste sur la même verticale (même abscisse) et passe de l'autre côté de l'axe : que devient son ordonnée ?

Voir la correction

Bonne réponse : A. (2 ; -5)

Exact : la symétrie par rapport à l'axe des abscisses conserve l'abscisse et change le signe de l'ordonnée.

L'abscisse reste $x = 2$ et l'ordonnée devient l'opposée : $y = -5$ , donc $A'(2 ; -5)$ .

Exercice 4 Défi 4ème : Milieu d'un segment

Palier 4 · défi

Dans un repère, on donne $A(2 ; 4)$ et $B(8 ; 10)$ . Quelle est l'abscisse du milieu $I$ du segment $[AB]$ ?

Un indice

L'abscisse du milieu est la moyenne des abscisses : $\frac{x_A + x_B}{2}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 5

$x_I = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$