5e · Espace et Géométrie · 5G4

Cours et exercices corrigés de 5e : Triangles : constructions, droites remarquables et aires

Constructions de triangles, médiatrices, hauteurs, médianes, points de concours (cercle circonscrit), unités d'aires et calculs d'aires.

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Objectifs du chapitre

Utiliser l'inégalité triangulaire pour savoir si un triangle est constructible (et reconnaître le cas des points alignés).
Construire un triangle connaissant trois longueurs, deux longueurs et l'angle compris, ou une longueur et deux angles.
Connaître la médiatrice d'un segment et construire le cercle circonscrit à un triangle.
Définir et tracer les hauteurs d'un triangle.
Calculer l'aire d'un triangle : $\mathcal{A} = \frac{b \times h}{2}$ .

Le cours

1. Inégalité triangulaire et constructibilité

Dans un triangle, la longueur du plus grand côté doit être strictement inférieure à la somme des deux autres.
Si $AB + BC = AC$ , alors les points $A, B, C$ sont alignés et $B \in [AC]$ (triangle aplati).
Si le plus grand côté est strictement supérieur à la somme des deux autres, le triangle n'est pas constructible.

2. Construire un triangle

Trois longueurs : on trace le plus grand côté, puis deux arcs de cercle au compas centrés à ses extrémités ; leur point d'intersection est le troisième sommet.
Deux longueurs et l'angle compris entre elles : on trace un côté, on construit l'angle au rapporteur à une extrémité, on reporte la seconde longueur sur le côté de l'angle, puis on relie.
Une longueur et deux angles : on trace le côté, puis les deux angles au rapporteur à ses extrémités ; les côtés des angles se coupent au troisième sommet. (Il faut que la somme des deux angles soit inférieure à $180^\circ$ .)
On commence toujours par un schéma à main levée codé.

3. Droites remarquables du triangle

Dans tout triangle, les 3 familles de droites remarquables possèdent chacune un point de concours unique :

🔵 1. Les médiatrices et le cercle circonscrit (point O)

• Définition : la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
• Propriété : les 3 médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point noté $O$ .
• Cercle circonscrit : le point $O$ est à égale distance des trois sommets ( $OA = OB = OC$ ). C'est le centre du cercle circonscrit qui passe par les trois sommets $A, B$ et $C$ .
• Rappel : un point est sur la médiatrice de $[AB]$ si et seulement s'il est à égale distance de $A$ et de $B$ .

🔴 2. Les hauteurs et l'orthocentre (point H)

• Définition : une hauteur est une droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
• Propriété : les 3 hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point noté $H$ .
• Orthocentre : ce point d'intersection $H$ s'appelle l'orthocentre du triangle.
• Dans un triangle qui a un angle obtus, deux hauteurs sont à l'extérieur : on prolonge les côtés.

🟢 3. Pour aller plus loin : les médianes et le centre de gravité (point G)

• Définition : une médiane est une droite issue d'un sommet et reliant ce sommet au milieu du côté opposé.
• Propriété : les 3 médianes d'un triangle sont concourantes en un point noté $G$ .
• Centre de gravité : ce point d'intersection $G$ est le centre de gravité (point d'équilibre). Il est situé aux $\frac{2}{3}$ de chaque médiane en partant du sommet ( $AG = \frac{2}{3}AA'$ ).

4. Aire et périmètre du triangle

$\mathcal{P} = a + b + c \quad \text{et} \quad \mathcal{A} = \frac{b \times h}{2}$
où $h$ est la hauteur relative à la base $b$ (la longueur du segment perpendiculaire à la base, issu du sommet opposé).

N'importe quel côté peut servir de base, à condition de prendre la hauteur qui lui correspond.
Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont une base et la hauteur correspondante : $\mathcal{A} = \frac{6 \times 9}{2} = 27\text{ cm}^2$ pour des côtés de l'angle droit de $6\text{ cm}$ et $9\text{ cm}$ .

À retenir

Triangle constructible $\Longleftrightarrow$ plus grand côté strictement inférieur à la somme des deux autres.
Médiatrices $\to$ centre du cercle circonscrit ; hauteurs $\to$ orthocentre.
$\mathcal{A} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$ (ne pas oublier de diviser par $2$ ).

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer l'aire d'un triangle

Exemple

Calculer l'aire d'un triangle dont une base mesure $8\text{ cm}$ et la hauteur correspondante $5\text{ cm}$ .

Formule : $\text{Aire} = \frac{b \times h}{2}$ .
Calcul : $\text{Aire} = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20\text{ cm}^2$ .

Méthode : Construire un triangle connaissant ses trois côtés

Exemple

Construire le triangle $ABC$ tel que $AB = 6\text{ cm}$ , $AC = 5\text{ cm}$ et $BC = 4\text{ cm}$ .

Étape 1 : On vérifie qu'il est constructible : $6 < 5 + 4 = 9$ .
Étape 2 : On trace le segment $[AB]$ de $6\text{ cm}$ .
Étape 3 : On trace un arc de cercle de centre $A$ et de rayon $5\text{ cm}$ , puis un arc de centre $B$ et de rayon $4\text{ cm}$ .
Étape 4 : Le point d'intersection des arcs est $C$ . On trace $[AC]$ et $[BC]$ et on laisse les traits de construction.

Méthode : Tracer une hauteur

Exemple

Tracer la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$ .

Étape 1 : On repère le côté opposé à $A$ : c'est $[BC]$ .
Étape 2 : On place un côté de l'angle droit de l'équerre le long de $(BC)$ et on la fait glisser jusqu'à ce que l'autre côté passe par $A$ .
Étape 3 : On trace la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(BC)$ ; on code l'angle droit. Si le pied de la hauteur tombe en dehors de $[BC]$ , on prolonge le côté.

Méthode : Calculer une hauteur à partir de l'aire

Exemple

Un triangle a une aire de $24\text{ cm}^2$ et une base de $8\text{ cm}$ . Quelle est la hauteur relative à cette base ?

Étape 1 : $\mathcal{A} = \frac{b \times h}{2}$ , donc $b \times h = 2 \times \mathcal{A} = 48$ .
Étape 2 : $8 \times h = 48$ , donc $h = 48 \div 8 = 6\text{ cm}$ .
Vérification : $\frac{8 \times 6}{2} = 24\text{ cm}^2$ .

Pièges fréquents

Ne pas oublier de diviser par 2 dans le calcul de l'aire du triangle !
Ne pas confondre médiane (passe par le milieu) et médiatrice (perpendiculaire au milieu).
La hauteur relative à une base est perpendiculaire à cette base : ce n'est en général pas un côté du triangle (sauf dans un triangle rectangle).
L'inégalité triangulaire se vérifie avec le plus grand côté : pour $3$ , $4$ et $8$ , on compare $8$ à $3 + 4$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Comment s'appelle le point d'intersection des trois hauteurs d'un triangle ?

L'orthocentre.

Comment s'appelle le point de concours des trois médianes d'un triangle ?

Le centre de gravité (chaque médiane partage aussi le triangle en deux triangles de même aire).

Que représente le point de concours des trois médiatrices d'un triangle ?

Le centre du cercle circonscrit au triangle (qui passe par les 3 sommets car il est équidistant de ceux-ci).

Un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 8 cm est-il constructible ?

Non, car $3 + 4 = 7 < 8$ (le plus grand côté est strictement supérieur à la somme des deux autres).

Que peut-on dire d'un point situé sur la médiatrice de

[AB]

Il est à égale distance de $A$ et de $B$ .

Aire d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent

6\text{ cm}

9\text{ cm}

$\frac{6 \times 9}{2} = 27\text{ cm}^2$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Aire d'un triangle (base et hauteur)

Palier 1 · découverte

Dans un triangle $ABC$ , le côté $[BC]$ mesure $10\text{ cm}$ et la hauteur issue de $A$ mesure $6\text{ cm}$ .
Calculer l'aire du triangle $ABC$ en $\text{cm}^2$ .

Un indice

Aire d'un triangle : $\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur relative à cette base}}{2}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 30

$\mathcal{A} = \frac{BC \times h}{2} = \frac{10 \times 6}{2} = \frac{60}{2} = 30\text{ cm}^2$

Exercice 2 Droites remarquables : les médiatrices

Palier 2 · application

Dans un triangle, les trois médiatrices des côtés sont concourantes. Que représente leur point de concours ?

Le centre du cercle circonscrit au triangle
Le centre de gravité du triangle
L'orthocentre du triangle
Le milieu du plus grand côté

Un indice

La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points situés à égale distance de ses deux extrémités.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Le centre du cercle circonscrit au triangle

Exact ! Chaque point de la médiatrice de $[AB]$ est à égale distance de $A$ et de $B$ : le point de concours est à la même distance des trois sommets, c'est le centre du cercle qui passe par $A$ , $B$ et $C$ .

Le point $O$ de concours des médiatrices vérifie $OA = OB$ (médiatrice de $[AB]$ ) et $OB = OC$ (médiatrice de $[BC]$ ). Donc $OA = OB = OC$ : $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle.
À retenir : médiatrices → cercle circonscrit ; médianes → centre de gravité ; hauteurs → orthocentre ; bissectrices → cercle inscrit.

Exercice 3 Construction d'un triangle : cas limite de l'inégalité triangulaire

Palier 3 · approfondissement

On veut construire un triangle $ABC$ tel que $AB = 4\text{ cm}$ , $BC = 6\text{ cm}$ et $AC = 10\text{ cm}$ . Que peut-on affirmer ?

Le triangle est « aplati » : $AC = AB + BC$ , donc $B$ appartient au segment $[AC]$
On obtient un vrai triangle car $10 < 4 + 6 + 10$
On obtient un vrai triangle car le plus grand côté est $[AC]$
Aucune figure n'est possible car $10 > 4 + 6$

Un indice

Compare la plus grande longueur ( $10\text{ cm}$ ) à la somme des deux autres.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Le triangle est « aplati » : $AC = AB + BC$ , donc $B$ appartient au segment $[AC]$

Exact ! Comme $AB + BC = 4 + 6 = 10 = AC$ , les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés, avec $B$ sur le segment $[AC]$ .

Le plus grand côté mesure $AC = 10\text{ cm}$ et $AB + BC = 4 + 6 = 10\text{ cm}$ .
Puisque $AC = AB + BC$ , le point $B$ appartient au segment $[AC]$ : les trois points sont alignés et le triangle est aplati.
Rappel (inégalité triangulaire) : on peut construire un vrai triangle si et seulement si la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres.

Exercice 4 Défi 4ème : Calculer une hauteur grâce à l'aire

Palier 4 · défi

Dans un triangle $ABC$ , on a $BC = 12\text{ cm}$ et la hauteur issue de $A$ mesure $5\text{ cm}$ . De plus, $AC = 10\text{ cm}$ .
Quelle est la longueur, en cm, de la hauteur issue de $B$ (relative au côté $[AC]$ ) ?

Un indice

Calcule d'abord l'aire du triangle avec la base $[BC]$ : $\dfrac{12 \times 5}{2}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 6

1. Avec la base $[BC]$ : $\mathcal{A} = \dfrac{12 \times 5}{2} = 30\text{ cm}^2$ .
2. Avec la base $[AC]$ et la hauteur $h_B$ issue de $B$ : $\dfrac{10 \times h_B}{2} = 30$ , donc $5 \times h_B = 30$ .
3. $h_B = 30 \div 5 = 6\text{ cm}$ .