Angles et parallélisme en 5e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Connaître le vocabulaire : angles adjacents, complémentaires, supplémentaires, opposés par le sommet.
Reconnaître des angles alternes-internes et des angles correspondants formés par deux droites et une sécante.
Utiliser les propriétés des angles formés par deux droites parallèles et une sécante, et leurs réciproques pour démontrer que deux droites sont parallèles.
Connaître et utiliser la somme des angles d'un triangle et les angles des triangles particuliers.

Le cours

1. Vocabulaire des angles

Deux angles adjacents ont le même sommet, un côté commun, et sont situés de part et d'autre de ce côté.
Deux angles complémentaires ont une somme de $90^\circ$ : $35^\circ$ et $55^\circ$ .
Deux angles supplémentaires ont une somme de $180^\circ$ : $35^\circ$ et $145^\circ$ .
Deux angles opposés par le sommet (formés par deux droites sécantes) ont la même mesure.

2. Angles alternes-internes et correspondants

Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante $(\Delta)$ .

Deux angles alternes-internes sont situés de part et d'autre de la sécante et entre les deux droites (ils dessinent un « Z »).
Deux angles correspondants sont situés du même côté de la sécante, l'un entre les droites et l'autre à l'extérieur, « à la même place » sur chaque droite (ils dessinent un « F »).

3. Propriétés et réciproques

Propriété : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes ont la même mesure ; de même, les angles correspondants ont la même mesure.
Réciproque : si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

La propriété sert à calculer un angle quand on sait que les droites sont parallèles.
La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.

4. Somme des angles d'un triangle

Dans n'importe quel triangle

ABC

:

\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ

Pourquoi ? On trace la parallèle à

(BC)

passant par

A

. Les angles alternes-internes ainsi formés reproduisent

\widehat{B}

et

\widehat{C}

de part et d'autre de

\widehat{A}

: les trois angles forment un angle plat, soit

180^\circ

.

5. Angles des triangles particuliers

Triangle isocèle : les deux angles à la base ont la même mesure.
Triangle équilatéral : les trois angles mesurent $60^\circ$ ( $180^\circ \div 3$ ).
Triangle rectangle : les deux angles aigus sont complémentaires (somme $90^\circ$ ).
Triangle rectangle isocèle : ses angles aigus mesurent chacun $45^\circ$ .

À retenir

Droites parallèles $\Longrightarrow$ angles alternes-internes (ou correspondants) égaux.
Angles alternes-internes (ou correspondants) égaux $\Longrightarrow$ droites parallèles.
Dans un triangle : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer un angle inconnu

Exemple

Dans le triangle ABC, $\widehat{A} = 55^\circ$ et $\widehat{B} = 65^\circ$ . Calculer $\widehat{C}$ .

Étape 1 : La somme des angles d'un triangle est $180^\circ$ .
Étape 2 : On calcule la somme des deux angles connus : $55 + 65 = 120^\circ$ .
Étape 3 : On soustrait à $180^\circ$ : $\widehat{C} = 180 - 120 = 60^\circ$ .

Méthode : Démontrer que deux droites sont parallèles

Exemple

Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$ en $A$ et en $B$ . Deux angles alternes-internes mesurent chacun $48^\circ$ . Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont-elles parallèles ?

On sait que : les angles alternes-internes formés par $(d_1)$ , $(d_2)$ et la sécante $(\Delta)$ mesurent tous les deux $48^\circ$ .
Or : si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Donc : $(d_1) \parallel (d_2)$ .

Méthode : Calculer un angle grâce à des parallèles

Exemple

$(d_1) \parallel (d_2)$ et la sécante $(\Delta)$ forme avec $(d_1)$ un angle de $115^\circ$ . Calculer l'angle correspondant sur $(d_2)$ , puis l'angle qui lui est adjacent sur $(d_2)$ .

Étape 1 : Les droites sont parallèles, donc les angles correspondants ont la même mesure : l'angle correspondant mesure $115^\circ$ .
Étape 2 : L'angle qui lui est adjacent forme avec lui un angle plat : ils sont supplémentaires.
Étape 3 : $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$ .

Méthode : Calculer les angles d'un triangle isocèle

Exemple

$EFG$ est isocèle en $E$ et $\widehat{FEG} = 70^\circ$ . Calculer $\widehat{EFG}$ et $\widehat{EGF}$ .

Étape 1 : Le triangle est isocèle en $E$ : les angles à la base $\widehat{EFG}$ et $\widehat{EGF}$ sont égaux.
Étape 2 : Leur somme vaut $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ .
Étape 3 : $\widehat{EFG} = \widehat{EGF} = 110^\circ \div 2 = 55^\circ$ .

Pièges fréquents

Deux angles alternes-internes ne sont égaux que lorsque les droites sont parallèles !
« Ça se voit sur la figure » n'est pas une preuve : pour démontrer un parallélisme, il faut citer la réciproque avec des mesures d'angles égales.
Ne pas confondre complémentaires (somme $90^\circ$ ) et supplémentaires (somme $180^\circ$ ).
Dans un triangle isocèle, les angles égaux sont ceux à la base, pas l'angle au sommet principal.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la somme des 3 angles d'un triangle ?

$180^\circ$ .

Que peut-on dire de deux angles alternes-internes formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ?

Ils ont la même mesure.

Dans un triangle isocèle en A, l'angle au sommet mesure 40°. Que valent les deux autres angles ?

$180 - 40 = 140 \quad \implies \quad 140 \div 2 = 70^\circ \text{ chacun}$

Que valent les angles d'un triangle équilatéral ?

Chaque angle mesure exactement 60° ( $180^\circ \div 3 = 60^\circ$ ).

Deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants égaux. Que peut-on en déduire ?

Les deux droites sont parallèles (réciproque de la propriété des angles correspondants).

Quel est le complémentaire d'un angle de

35^\circ

? Et son supplémentaire ?

Complémentaire : $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ . Supplémentaire : $180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Somme des angles d'un triangle

Palier 1 · découverte

Dans un triangle $ABC$ , on donne $\widehat{A} = 50^\circ$ et $\widehat{B} = 70^\circ$ .
Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{C}$ en degrés ?

Un indice

La somme des 3 angles vaut $180^\circ$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 60

$\widehat{C} = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Exercice 2 Angles dans un triangle isocèle

Palier 2 · application

Soit un triangle $EFG$ isocèle en $E$ tel que l'angle au sommet $\widehat{E} = 70^\circ$ .
Quelle est la mesure de l'angle à la base $\widehat{EFG}$ en degrés ?

Un indice

Les deux angles à la base sont égaux : $(180^\circ - 70^\circ) / 2$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 55

$\widehat{EFG} = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

Exercice 3 Angles alternes-internes et parallélisme

Palier 3 · approfondissement

Deux droites $(d)$ et $(d')$ sont coupées par une sécante $(s)$ . Les deux angles alternes-internes ainsi formés mesurent $72^\circ$ et $74^\circ$ .
Les droites $(d)$ et $(d')$ sont-elles parallèles ?

Non, car si elles étaient parallèles, ces angles alternes-internes seraient égaux
Oui, car $72^\circ$ et $74^\circ$ sont presque égaux
Oui, car deux angles alternes-internes sont toujours égaux
On ne peut rien conclure sans connaître les angles correspondants

Un indice

Propriété : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes ont la même mesure.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Non, car si elles étaient parallèles, ces angles alternes-internes seraient égaux

Exact ! Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ont la même mesure. Ici $72^\circ \neq 74^\circ$ : les droites ne sont donc pas parallèles.

On sait que : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors elles forment des angles alternes-internes de même mesure.
Or ici $72^\circ \neq 74^\circ$ . Donc les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles.

Exercice 4 Défi 4ème : Déduction d'angle sur figure combinée

Palier 4 · défi

Dans une figure à deux triangles adjacents : dans $ABC$ rectangle en $A$ , $\widehat{B} = 40^\circ$ (donc $\widehat{BCA} = 50^\circ$ ). L'angle adjacent $\widehat{DCE}$ vaut $60^\circ$ . Dans le triangle $CDE$ , $\widehat{CDE} = 50^\circ$ .
Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{CED}$ en degrés ?

Un indice

Dans le triangle $CDE$ , la somme des angles vaut $180^\circ$ . $\widehat{CED} = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ)$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 70

$\widehat{CED} = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$