Comparer, ranger, encadrer en 6e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Repérer, placer et lire un nombre décimal sur une demi-droite graduée.
Comparer deux nombres décimaux et ranger une liste dans l'ordre croissant ou décroissant.
Encadrer un nombre décimal et intercaler un nombre entre deux décimaux.
Arrondir un nombre décimal à l'unité, au dixième ou au centième.

Le cours

1. Demi-droite graduée

Une demi-droite graduée a une origine (le point d'abscisse $0$ ) et une unité de longueur reportée régulièrement.
Le nombre qui repère un point est son abscisse. On note $A(2{,}5)$ .
Si l'unité est partagée en $10$ , chaque petite graduation vaut $0{,}1$ ; si elle est partagée en $4$ , chaque graduation vaut $0{,}25$ .

Ici l'unité est partagée en

5

: une graduation vaut

1 \div 5 = 0{,}2

.

2. Comparer et ranger

Pour comparer deux décimaux, on compare d'abord les parties entières. Si elles sont égales, on compare les chiffres des dixièmes, puis des centièmes, etc.

$12{,}4 > 9{,}87 \qquad 5{,}38 < 5{,}4 \quad (3 \text{ dixièmes} < 4 \text{ dixièmes})$

Astuce : compléter avec des zéros pour avoir autant de décimales : $5{,}38$ et $5{,}40$ .
Ranger dans l'ordre croissant : du plus petit au plus grand (symbole $<$ ) ; décroissant : du plus grand au plus petit (symbole $>$ ).

3. Encadrer, intercaler, arrondir

Encadrer $7{,}36$ à l'unité : $7 < 7{,}36 < 8$ ; au dixième : $7{,}3 < 7{,}36 < 7{,}4$ .
Intercaler : entre deux décimaux distincts, on peut toujours trouver un autre décimal : entre $2{,}4$ et $2{,}5$ il y a $2{,}45$ .
Arrondir à un rang, c'est choisir la valeur de l'encadrement la plus proche. On regarde le chiffre suivant : s'il vaut $0, 1, 2, 3$ ou $4$ , on garde la valeur inférieure ; s'il vaut $5, 6, 7, 8$ ou $9$ , on prend la valeur supérieure.

$7{,}36 \approx 7{,}4 \text{ (au dixième)} \qquad 7{,}36 \approx 7 \text{ (à l'unité)}$

À retenir

Comparer : parties entières d'abord, puis dixièmes, centièmes…
Arrondir : on regarde le chiffre juste après le rang demandé ( $0$ à $4$ : on garde ; $5$ à $9$ : on augmente).
Sur une demi-droite graduée, calculer d'abord la valeur d'une graduation.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Lire une abscisse sur une demi-droite graduée

Exemple

L'unité est partagée en $5$ graduations et le point $M$ est sur la $3^e$ graduation après $2$ . Quelle est l'abscisse de $M$ ?

Étape 1 : On calcule la valeur d'une graduation : $1 \div 5 = 0{,}2$ .
Étape 2 : On compte les graduations depuis le repère connu : $3 \times 0{,}2 = 0{,}6$ .
Étape 3 : On ajoute : $2 + 0{,}6 = 2{,}6$ . Donc $M(2{,}6)$ .

Méthode : Ranger une liste de décimaux

Exemple

Ranger dans l'ordre croissant : $4{,}3$ ; $4{,}08$ ; $4{,}25$ ; $3{,}9$ .

Étape 1 : On compare les parties entières : $3{,}9$ est le plus petit.
Étape 2 : Pour les nombres de partie entière $4$ , on écrit deux décimales : $4{,}30$ ; $4{,}08$ ; $4{,}25$ .
Étape 3 : On range : $3{,}9 < 4{,}08 < 4{,}25 < 4{,}3$ .

Méthode : Encadrer et arrondir un nombre décimal

Exemple

Encadrer $15{,}647$ au dixième, puis l'arrondir au dixième et au centième.

Étape 1 : Encadrement au dixième : $15{,}6 < 15{,}647 < 15{,}7$ .
Étape 2 : Au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : c'est $4$ , donc on garde la valeur inférieure : $15{,}647 \approx 15{,}6$ .
Étape 3 : Au centième, on regarde le chiffre des millièmes : c'est $7$ , donc on prend la valeur supérieure : $15{,}647 \approx 15{,}65$ .

Pièges fréquents

Un nombre n'est pas plus grand parce qu'il a plus de chiffres après la virgule : $2{,}15 < 2{,}3$ .
Pour arrondir, on ne regarde que le chiffre juste après le rang demandé : $3{,}149 \approx 3{,}1$ au dixième (on regarde le $4$ , pas le $9$ ).
Sur une demi-droite graduée, bien calculer la valeur d'une graduation avant de compter : elle ne vaut pas toujours $0{,}1$ .
Arrondir $4{,}97$ au dixième donne $5{,}0$ c'est-à-dire $5$ : la retenue se propage.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quel est le plus grand :

3{,}7

ou

3{,}65

?

$3{,}7 = 3{,}70 > 3{,}65$ (7 dixièmes > 6 dixièmes).

Arrondir

12{,}458

au centième.

$12{,}46$ (le chiffre des millièmes est $8 \ge 5$ ).

Encadrer

6{,}83

entre deux entiers consécutifs.

$6 < 6{,}83 < 7$ .

Donner un nombre compris entre

1{,}2

et

1{,}3

.

Par exemple $1{,}25$ (ou $1{,}21$ , $1{,}299$ …).

Que signifie « ordre décroissant » ?

Du plus grand au plus petit, avec le symbole $>$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Comparer deux décimaux

Palier 1 · découverte

Choisir le bon symbole :
$7{,}08 \dots 7{,}8$

$<$
$>$
$=$

Un indice

Les parties entières sont égales : compare les chiffres des dixièmes.

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Bonne réponse : A. $<$

$7{,}08 = 7{,}08$ et $7{,}8 = 7{,}80$ : $0$ dixième $< 8$ dixièmes, donc $7{,}08 < 7{,}8$ .

Exercice 2 Lire une abscisse

Palier 2 · application

Sur une demi-droite graduée, l'unité est partagée en $4$ graduations égales. Le point $P$ est placé sur la $3^e$ graduation après le repère $5$ .
Quelle est l'abscisse de $P$ ?

Un indice

Une graduation vaut $1 \div 4 = 0{,}25$ .

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Réponse attendue : 5,75

Une graduation vaut $0{,}25$ . Donc $P$ a pour abscisse $5 + 3 \times 0{,}25 = 5 + 0{,}75 = 5{,}75$ .

Exercice 3 Le plus petit d'une liste

Palier 3 · approfondissement

Quel est le plus petit nombre de la liste :
$3{,}45 \quad ; \quad 3{,}405 \quad ; \quad 3{,}5 \quad ; \quad 3{,}054$

$3{,}054$
$3{,}405$
$3{,}45$
$3{,}5$

Un indice

Écris tous les nombres avec trois décimales.

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Bonne réponse : A. $3{,}054$

Avec trois décimales : $3{,}054 < 3{,}405 < 3{,}450 < 3{,}500$ . Le plus petit est 3,054.

Exercice 4 Défi 5ème : Chiffre manquant

Palier 4 · défi

On cherche le chiffre $c$ tel que $2{,}c7 > 2{,}86$ et $2{,}c7$ arrondi au dixième soit égal à $3$ .
Quelle est la valeur de $c$ ?

Un indice

Pour que $2{,}c7 > 2{,}86$ , il faut $c \ge 8$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 9

$c = 8$ donne $2{,}87 \approx 2{,}9$ ; $c = 9$ donne $2{,}97 \approx 3{,}0 = 3$ . Donc $c =$ 9.