Fractions en 6e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Comprendre qu'une fraction $\frac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$ : le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ .
Repérer et placer une fraction sur une demi-droite graduée, graduer un segment en partageant l'unité.
Reconnaître qu'une fraction peut être un nombre entier, un nombre décimal ou un nombre qui n'est pas décimal.
Produire des fractions égales, simplifier une fraction et écrire une fraction sous la forme d'un nombre mixte.
Comparer, encadrer entre deux entiers et ranger des fractions.

Le cours

1. La fraction, un quotient

Dans la fraction $\frac{a}{b}$ ( $b \neq 0$ ), $a$ est le numérateur et $b$ le dénominateur.
$\frac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$ : c'est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ .

$7 \times \frac{3}{7} = 3 \qquad \text{et} \qquad \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$

Une fraction peut être :

– un nombre entier : $\frac{12}{4} = 3$ ;
– un nombre décimal non entier : $\frac{3}{4} = 0{,}75$ ;
– un nombre qui n'est pas décimal : $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ (la division ne s'arrête jamais).

2. Repérer une fraction sur une demi-droite graduée

Pour placer $\frac{a}{b}$ sur une demi-droite graduée d'origine $0$ :

on partage l'unité (le segment de $0$ à $1$ ) en $b$ parts égales ;
on reporte $a$ de ces parts à partir de l'origine.

Exemple : pour

\frac{7}{4}

, l'unité est partagée en

4

et on compte

7

quarts : le point est situé entre

1

et

2

, car

\frac{4}{4} = 1

et

\frac{8}{4} = 2

.

3. Fractions égales et nombres mixtes

On obtient une fraction égale en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul :

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{12}{20} \qquad \frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

Simplifier une fraction, c'est écrire une fraction égale avec des nombres plus petits (on utilise les tables et les critères de divisibilité).
Nombre mixte : une fraction plus grande que $1$ s'écrit comme la somme d'un entier et d'une fraction plus petite que $1$ . Comme $17 = 3 \times 5 + 2$ :

$\frac{17}{5} = 3 + \frac{2}{5}$

4. Comparer et encadrer des fractions

Même dénominateur : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur : $\frac{7}{9} > \frac{4}{9}$ .
Comparaison à 1 : si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que $1$ : $\frac{8}{5} > 1 > \frac{4}{5}$ .
Dénominateurs multiples l'un de l'autre : on transforme une fraction pour obtenir le même dénominateur : $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ donc $\frac{2}{3} > \frac{7}{12}$ .
Encadrer entre deux entiers consécutifs : $\frac{23}{6}$ est entre $\frac{18}{6} = 3$ et $\frac{24}{6} = 4$ , donc $3 < \frac{23}{6} < 4$ .

À retenir

$\frac{a}{b}$ est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ .
Fractions égales : on multiplie ou on divise numérateur et dénominateur par un même nombre.
Même dénominateur : on compare les numérateurs.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Placer une fraction sur une demi-droite graduée

Exemple

Placer le point $A$ d'abscisse $\frac{7}{4}$ .

Étape 1 : Le dénominateur est $4$ : on partage chaque unité en $4$ parts égales (des quarts).
Étape 2 : On compte $7$ quarts à partir de $0$ : $4$ quarts pour arriver à $1$ , puis encore $3$ quarts.
Étape 3 : On place $A$ et on vérifie : $\frac{7}{4} = 1 + \frac{3}{4}$ , le point est bien entre $1$ et $2$ .

Méthode : Comparer deux fractions dont les dénominateurs sont multiples

Exemple

Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{7}{12}$ .

Étape 1 : $12 = 3 \times 4$ : on écrit $\frac{2}{3}$ avec le dénominateur $12$ : $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ .
Étape 2 : Les deux fractions ont le même dénominateur, on compare les numérateurs : $8 > 7$ .
Conclusion : $\frac{8}{12} > \frac{7}{12}$ , donc $\frac{2}{3} > \frac{7}{12}$ .

Pièges fréquents

$\frac{2}{3}$ n'est pas égal à $2{,}3$ : c'est le quotient $2 \div 3 = 0{,}666\ldots$
Pour obtenir une fraction égale, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre : $\frac{3}{5} \neq \frac{6}{5}$ .
Avec un même numérateur, le plus grand dénominateur donne la plus petite fraction : $\frac{1}{5} < \frac{1}{3}$ (un cinquième de gâteau est plus petit qu'un tiers).
Sur une demi-droite graduée, on partage l'unité en $b$ parts, pas le segment entier dessiné.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Que signifie

\frac{5}{8}

comme quotient ?

C'est le nombre qui, multiplié par $8$ , donne $5$ : $8 \times \frac{5}{8} = 5$ . On a aussi $\frac{5}{8} = 5 \div 8 = 0{,}625$ .

Quel nombre manque :

9 \times \ldots = 4

?

$\frac{4}{9}$ , car $9 \times \frac{4}{9} = 4$ .

Simplifier

\frac{15}{25}

.

$\frac{15}{25} = \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$ .

Écrire

\frac{11}{4}

sous forme de nombre mixte.

$11 = 2 \times 4 + 3$ , donc $\frac{11}{4} = 2 + \frac{3}{4}$ .

Quel est le plus grand :

\frac{1}{6}

ou

\frac{1}{4}

?

$\frac{1}{4}$ : avec le même numérateur, le plus petit dénominateur donne la plus grande fraction.

\frac{1}{3}

est-il un nombre décimal ?

Non : $1 \div 3 = 0{,}333\ldots$ ne s'arrête jamais. $\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.

Exercices corrigés

Exercice 1 La fraction, un quotient

Palier 1 · découverte

Quel nombre faut-il écrire à la place des pointillés ?
$7 \times \ldots = 3$
Donne ta réponse sous forme de fraction (exemple : 2/9).

Un indice

Par définition, $\frac{a}{b}$ est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 3/7

Le nombre qui, multiplié par $7$ , donne $3$ est le quotient de $3$ par $7$ :
$7 \times \frac{3}{7} = 3$
La réponse est $\frac{3}{7}$ .

Exercice 2 Compléter une égalité de fractions

Palier 2 · application

Compléter l'égalité :
$\frac{3}{4} = \frac{\ldots}{20}$

Un indice

Par quel nombre faut-il multiplier $4$ pour obtenir $20$ ?

Voir la correction

Réponse attendue : 15

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$
Le nombre manquant est $15$ .

Exercice 3 Comparer deux fractions

Palier 3 · approfondissement

Choisir le symbole qui convient :
$\frac{5}{8} \ \ldots \ \frac{3}{4}$

$<$
$>$
$=$

Un indice

$8$ est un multiple de $4$ : écris $\frac{3}{4}$ avec le dénominateur $8$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $<$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$ . Comme $5 < 6$ , on a $\frac{5}{8} < \frac{6}{8}$ , donc :
$\frac{5}{8} < \frac{3}{4}$

Exercice 4 Défi 5ème : Le plus grand nombre

Palier 4 · défi

Parmi les nombres suivants, lequel est le plus grand ?
$\frac{7}{3} \qquad 2 + \frac{1}{6} \qquad \frac{5}{2} \qquad \frac{11}{6}$

$\frac{5}{2}$
$\frac{7}{3}$
$2 + \frac{1}{6}$
$\frac{11}{6}$

Un indice

Écris tous les nombres avec le dénominateur $6$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $\frac{5}{2}$

Avec le dénominateur commun $6$ :
$\frac{7}{3} = \frac{14}{6} \qquad 2 + \frac{1}{6} = \frac{12}{6} + \frac{1}{6} = \frac{13}{6} \qquad \frac{5}{2} = \frac{15}{6} \qquad \frac{11}{6}$
On range : $\frac{11}{6} < \frac{13}{6} < \frac{14}{6} < \frac{15}{6}$ . Le plus grand est $\frac{5}{2}$ .