Cours et exercices corrigés de 6e : Division euclidienne, division décimale, multiples et diviseurs

1. Division euclidienne

• Effectuer la division euclidienne de l'entier $a$ (le dividende) par l'entier $b$ non nul (le diviseur), c'est trouver deux entiers $q$ (le quotient) et $r$ (le reste) tels que :

$$a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad r < b$$

• Exemple : $87 = 6 \times 14 + 3$ ; dans la division de $87$ par $6$, le quotient est $14$ et le reste est $3$.

2. Multiples, diviseurs et critères

• Si le reste de la division de $a$ par $b$ est nul, on dit que $a$ est un multiple de $b$, que $b$ est un diviseur de $a$ et que $a$ est divisible par $b$. Exemple : $42 = 6 \times 7$.
• Critères de divisibilité :

– par $2$ : le chiffre des unités est $0, 2, 4, 6$ ou $8$ ;
– par $5$ : le chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
– par $10$ : le chiffre des unités est $0$ ;
– par $3$ : la somme des chiffres est un multiple de $3$ ;
– par $9$ : la somme des chiffres est un multiple de $9$.

3. Division décimale

• On peut continuer une division au-delà de la virgule en transformant le reste en dixièmes, centièmes… : $17 \div 4 = 4{,}25$.
• Pour diviser un décimal par un entier, on place la virgule au quotient dès qu'on abaisse le chiffre des dixièmes :

$$25{,}2 \div 6 = 4{,}2 \qquad \text{car} \quad 6 \times 4{,}2 = 25{,}2$$

• Le quotient n'est pas toujours décimal : $10 \div 3 = 3{,}333\dots$ ; on donne alors une valeur approchée.

À retenir

• $a = b \times q + r$ avec $r < b$.
• Critères : $2$, $5$, $10$ (chiffre des unités) ; $3$, $9$ (somme des chiffres).
• Division décimale : on place la virgule au quotient quand on abaisse le chiffre des dixièmes.