Cours et exercices corrigés de seconde : Variations et extremums d'une fonction

1. Définitions formelles de la monotonie

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ :

• $f$ est strictement croissante sur $I$ si pour tous $a, b \in I$ :

$$a < b \implies f(a) < f(b)$$ (la fonction conserve l'ordre).

• $f$ est strictement décroissante sur $I$ si pour tous $a, b \in I$ :

$$a < b \implies f(a) > f(b)$$ (la fonction inverse l'ordre).

• On dit plus largement que $f$ est croissante sur $I$ si pour tous $a, b \in I$, $a < b \implies f(a) \le f(b)$, et décroissante si $a < b \implies f(a) \ge f(b)$. Une fonction constante est à la fois croissante et décroissante.

2. Extremums : Maximum et Minimum

Soit $f$ définie sur $I$ et $x_0 \in I$ :

• $M = f(x_0)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si pour tout $x \in I$, $f(x) \le M$.
• $m = f(x_0)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si pour tout $x \in I$, $f(x) \ge m$.

3. Tableau de variations

Une fonction est monotone sur un intervalle $I$ si elle est soit croissante, soit décroissante sur tout $I$.
Le tableau de variations résume les intervalles de monotonie :

• 1re ligne : les valeurs de $x$ (bornes de $\mathcal{D}_f$ et abscisses où le sens de variation change) ;
• 2e ligne : des flèches montantes (croissance) ou descendantes (décroissance), avec les images aux extrémités des flèches.

4. Démonstration : sens de variation d'une fonction affine

Soit $f(x) = mx + p$ définie sur $\mathbb{R}$.

• Si $m > 0$, $f$ est strictement croissante ; si $m < 0$, $f$ est strictement décroissante ; si $m = 0$, $f$ est constante.

Démonstration : soient deux réels $a < b$. Alors
$$f(b) - f(a) = (mb + p) - (ma + p) = m(b - a)$$
Comme $b - a > 0$, $f(b) - f(a)$ a le signe de $m$ :

• si $m > 0$, $f(b) - f(a) > 0$, soit $f(a) < f(b)$ : l'ordre est conservé, $f$ est strictement croissante ;
• si $m < 0$, $f(b) - f(a) < 0$, soit $f(a) > f(b)$ : l'ordre est inversé, $f$ est strictement décroissante ;
• si $m = 0$, $f(a) = f(b)$ : $f$ est constante.

Interprétation de $m$ : pour $a \neq b$, $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m$. Le coefficient $m$ est le taux d'accroissement : quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ varie de $m$. Et $p = f(0)$ est l'ordonnée à l'origine.
Exemple : un forfait téléphonique coûte $f(x) = 0{,}2x + 15$ euros pour $x$ minutes hors forfait : chaque minute supplémentaire coûte $0{,}20$ €, et $15$ € est le prix de base.

5. Existence d'un extremum

• Un maximum peut être atteint au sommet d'une flèche montante ou en une borne de l'intervalle : il faut comparer toutes les valeurs « hautes » du tableau.
• Une fonction n'admet pas toujours de maximum : sur $]0 ; 1[$, la fonction $x \mapsto x$ prend des valeurs aussi proches de $1$ que l'on veut, sans jamais atteindre $1$.
• En Python, on peut approcher le maximum par balayage :

def maximum(f, a, b, pas):
    M = f(a)
    x = a
    while x <= b:
        if f(x) > M:
            M = f(x)
        x = x + pas
    return M

6. Algorithmes : dichotomie et longueur d'une courbe

• Approcher un maximum par dichotomie : on suppose $f$ croissante puis décroissante sur $[a ; b]$. On coupe l'intervalle en son milieu $m$ ; si $f$ augmente encore juste après $m$, le maximum est à droite de $m$, sinon il est à gauche (à un petit pas $d$ près). On recommence jusqu'à la précision $e$ voulue.

def maximum_dicho(f, a, b, e):
    d = e / 10
    while b - a > e:
        m = (a + b) / 2
        if f(m) < f(m + d):
            a = m
        else:
            b = m + d
    return a, b

Avec $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ sur $[0 ; 5]$ et $e = 0{,}01$, on obtient un intervalle d'amplitude inférieure à $0{,}01$ contenant $2$ : le maximum est atteint en $x = 2$ et vaut $f(2) = 5$.

• Longueur approchée d'une courbe : on remplace la courbe de $f$ sur $[a ; b]$ par $n$ petits segments et on additionne leurs longueurs (formule de la distance dans un repère orthonormé).

from math import sqrt

def longueur(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    L = 0
    for k in range(n):
        x1 = a + k * h
        x2 = x1 + h
        L = L + sqrt(h ** 2 + (f(x2) - f(x1)) ** 2)
    return L

Pour la parabole $y = x^2$ entre $x = 0$ et $x = 1$ : $n = 10$ donne environ $1{,}478\,2$ et $n = 1\,000$ environ $1{,}478\,9$. Plus $n$ est grand, meilleure est l'approximation.

7. Un problème d'optimisation

Problème : parmi les rectangles de périmètre $20$ cm, lequel a la plus grande aire ?

• Si $x$ est la longueur d'un côté ($0 < x < 10$), l'autre côté mesure $10 - x$ et l'aire vaut $A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$.
• On vérifie en développant que $A(x) = 25 - (x - 5)^2$. Comme $(x - 5)^2 \ge 0$, on a $A(x) \le 25$ pour tout $x$, avec égalité si et seulement si $x = 5$.
• Conclusion : l'aire maximale est $25$ cm², obtenue pour le carré de côté $5$ cm.

On peut aussi conjecturer ce résultat avec un tableau de valeurs, une courbe (calculatrice, logiciel) ou l'algorithme de balayage du paragraphe 5, puis le démontrer comme ci-dessus.