Cours et exercices corrigés de première : Le produit scalaire dans le plan : définitions et propriétés

1. Les différentes expressions du produit scalaire

• Expression trigonométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$.
• Expression avec projection orthogonale : Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, alors :

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH} = \begin{cases} +AB \times AH & \text{si } \vec{AB} \text{ et } \vec{AH} \text{ ont même sens} \\ -AB \times AH & \text{si } \vec{AB} \text{ et } \vec{AH} \text{ sont de sens opposés} \end{cases}$$

• Expression analytique dans un repère orthonormé : Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, alors :

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$

2. Propriétés algébriques du produit scalaire

Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et tout réel $k$ :

• Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$.
• Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
• Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.
• Identités remarquables : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$, $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ et $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$.

3. Expression avec les normes (ou les longueurs)

Des identités remarquables on déduit :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$
Avec trois points $A$, $B$, $C$ : $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}\left(AB^2 + AC^2 - BC^2\right)$$
Exemple : si $AB = 4$, $AC = 5$ et $BC = 6$, alors $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(16 + 25 - 36) = 2{,}5$.

4. Signe du produit scalaire

Pour deux vecteurs non nuls, le signe de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est celui de $\cos(\vec{u}, \vec{v})$ :

• $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$ : l'angle géométrique est aigu ;
• $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$ : l'angle est obtus ;
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux.

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

5. Coordonnées et produit scalaire dans une base orthonormée

Dans une base orthonormée $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$, on a $\vec{\imath} \cdot \vec{\imath} = \vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath} = 1$ et $\vec{\imath} \cdot \vec{\jmath} = 0$. Si $\vec{u} = x\vec{\imath} + y\vec{\jmath}$, la bilinéarité donne
$$\vec{u} \cdot \vec{\imath} = x \quad \text{et} \quad \vec{u} \cdot \vec{\jmath} = y$$
De même, pour $\vec{v} = x'\vec{\imath} + y'\vec{\jmath}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx'\,\vec{\imath} \cdot \vec{\imath} + (xy' + yx')\,\vec{\imath} \cdot \vec{\jmath} + yy'\,\vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath} = xx' + yy'$. C'est la justification de l'expression analytique, dont on déduit aussi $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Réflexes sans calculatrice (épreuve anticipée)

Calculs à mener de tête, utiles dans les exercices de l'épreuve anticipée (sans calculatrice) :

• $\vec{u}(2 ; 3) \cdot \vec{v}(-3 ; 2) = -6 + 6 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux.
• $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 5$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{3}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 5 \times \frac{1}{2} = 5$.
• $\vec{u}(3 ; 4)$ a pour norme $\sqrt{9 + 16} = 5$.
• Angle aigu : produit scalaire positif ; angle obtus : produit scalaire négatif.
• $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ et $(\vec{u} + \vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.