Cours et exercices corrigés de première : Nombre dérivé, taux de variation et tangente à une courbe

1. Taux de variation et définition du nombre dérivé

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. Pour $h \neq 0$ tel que $a+h \in I$ :

• Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est la pente de la droite sécante $(AB)$ :

$$\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

• $f$ est dite dérivable en $a$ si ce taux de variation admet une limite finie $\ell$ lorsque $h$ tend vers 0 :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Ce réel $f'(a)$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$.

2. Équation de la tangente à la courbe

Lorsque $h$ tend vers $0$, les sécantes $(AM)$, où $M$ est le point de la courbe d'abscisse $a + h$, se rapprochent d'une droite limite : la tangente. Sa pente est la limite des pentes des sécantes, c'est-à-dire $f'(a)$.
La tangente $\mathcal{T}_a$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(a ; f(a))$ est la droite de coefficient directeur $f'(a)$ passant par $A$.
Son équation réduite est :
$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Démonstration : équation de la tangente

La tangente $\mathcal{T}_a$ a pour coefficient directeur le nombre réel $f'(a)$ : elle n'est pas verticale et admet donc une équation de la forme $y = f'(a)\,x + p$.
Elle passe par le point $A(a ; f(a))$, donc $f(a) = f'(a) \times a + p$, d'où $p = f(a) - f'(a)\,a$.
Ainsi $y = f'(a)\,x + f(a) - f'(a)\,a$, c'est-à-dire $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

3. Calculer un nombre dérivé avec la définition

On calcule le taux de variation, on le simplifie par $h$, puis on cherche sa limite quand $h$ tend vers $0$.
Exemple : pour $f(x) = x^2$ et un réel $a$ :
$$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{h(2a + h)}{h} = 2a + h$$
Quand $h$ tend vers $0$, $2a + h$ tend vers $2a$ : la fonction carré est dérivable en tout réel $a$ et $f'(a) = 2a$.

4. Une fonction non dérivable : la valeur absolue en $0$

Pour $f(x) = |x|$ et $a = 0$, le taux de variation vaut $\frac{|h| - 0}{h} = \frac{|h|}{h}$, c'est-à-dire $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$.
Ce taux ne se rapproche pas d'un seul nombre quand $h$ tend vers $0$ : la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$. Graphiquement, sa courbe présente un point anguleux à l'origine : il n'y a pas de tangente.

5. Tangente et approximation affine

Près du point $A(a ; f(a))$, la courbe et sa tangente sont très proches. Pour $h$ proche de $0$ :
$$f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$$
Exemple : pour $f(x) = \sqrt{x}$, on admet que $f'(1) = \frac{1}{2}$, donc $\sqrt{1{,}02} \approx 1 + \frac{1}{2} \times 0{,}02 = 1{,}01$ (la calculatrice donne $1{,}00995\ldots$). De même, pour la fonction inverse, $f'(1) = -1$ donc $\frac{1}{1{,}02} \approx 1 - 0{,}02 = 0{,}98$ (valeur exacte $0{,}98039\ldots$) ; pour la fonction carré, $1{,}02^2 \approx 1 + 2 \times 0{,}02 = 1{,}04$ (valeur exacte $1{,}0404$).

6. Algorithme : coefficients directeurs des sécantes

Pour $f(x) = x^2$ et $a = 1$, on calcule les pentes des sécantes $(AM)$, où $M$ est le point de la courbe d'abscisse $1 + h$, pour $h = 1$, puis $0{,}1$, puis $0{,}01$… (le pas est divisé par $10$ à chaque fois).

def f(x):
    return x ** 2

def pentes(a, n):
    L = []
    h = 1
    for k in range(n):
        L.append((f(a + h) - f(a)) / h)
        h = h / 10
    return L

pentes(1, 4) renvoie (aux erreurs d'arrondi près) [3, 2.1, 2.01, 2.001] : le taux vaut exactement $2 + h$, et les pentes des sécantes se rapprochent de $f'(1) = 2$, pente de la tangente.

7. Interpréter le nombre dérivé en contexte

• Cinématique : si $d(t)$ est la distance parcourue à l'instant $t$, le taux de variation $\frac{d(t + h) - d(t)}{h}$ est une vitesse moyenne et $d'(t)$ la vitesse instantanée.

Exemple : une bille en chute libre parcourt $d(t) = 5t^2$ mètres en $t$ secondes. Entre $1$ et $1 + h$ : $\frac{5(1 + h)^2 - 5}{h} = \frac{10h + 5h^2}{h} = 10 + 5h$, qui tend vers $10$ : à l'instant $t = 1$ s, la vitesse est $10$ m/s.

• Économie : si $C(q)$ est le coût de production de $q$ unités, $C'(q)$ est le coût marginal, valeur approchée du coût de production d'une unité supplémentaire : $C(q + 1) - C(q) \approx C'(q)$.

Exemple : $C(q) = 0{,}5q^2 + 10q$ donne $C'(q) = q + 10$, donc $C'(20) = 30$, alors que $C(21) - C(20) = 30{,}5$.

• Notations : en physique, on note $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ un taux de variation et $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ une dérivée ; si $y = f(x)$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x)$ (de même $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ pour une position $x = f(t)$).

Automatismes pour l'épreuve anticipée

L'épreuve anticipée de mathématiques (2 heures, sans calculatrice) commence par un QCM d'automatismes (6 points sur 20), suivi d'exercices (14 points). Questions flash typiques sur ce chapitre, à traiter de tête :

• Sur un graphique, $f(a)$ est l'ordonnée du point d'abscisse $a$ et $f'(a)$ la pente de la tangente en ce point.
• Pente d'une droite passant par $(0 ; 2)$ et $(3 ; 0)$ : $\frac{0 - 2}{3 - 0} = -\frac{2}{3}$.
• Tracer la droite d'équation $y = -2x + 3$ : elle passe par $(0 ; 3)$ et descend de $2$ quand $x$ augmente de $1$ ; lire graphiquement l'équation réduite d'une droite (ordonnée à l'origine, puis pente).
• Tangente horizontale $\iff f'(a) = 0$.
• Si $f(2) = 3$ et $f'(2) = -1$, la tangente en $2$ a pour équation $y = -(x - 2) + 3 = -x + 5$.
• Approximation affine : si $f(1) = 2$ et $f'(1) = 3$, alors $f(1{,}01) \approx 2 + 3 \times 0{,}01 = 2{,}03$.