Cours et exercices corrigés de première : Fonction dérivée, règles de dérivation et variations d'une fonction

1. Tableau des dérivées usuelles

• Constante $k$ : $(k)' = 0$
• Fonction identité $x$ : $(x)' = 1$
• Puissance $x^n$ ($n \in \mathbb{Z}^*$, avec $x \neq 0$ si $n < 0$) : $(x^n)' = n x^{n-1}$
• Inverse $\frac{1}{x}$ : $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$
• Racine carrée $\sqrt{x}$ : $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ (sur $]0 ; +\infty[$)
• Fonction exponentielle $e^x$ : $(e^x)' = e^x$

2. Opérations sur les fonctions dérivables

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel. Alors, sur $I$ :

• $(u + v)' = u' + v'$ et $(ku)' = ku'$ ;
• $(uv)' = u'v + uv'$ ;
• si $v$ ne s'annule pas sur $I$ : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Exemple : sur $]0 ; +\infty[$, $f(x) = (x^2 + 1)\sqrt{x}$ a pour dérivée $f'(x) = 2x\sqrt{x} + \frac{x^2 + 1}{2\sqrt{x}}$.

3. Théorème fondamental de la dérivation et variations

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ :

• Si $f'(x) > 0$ sur $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points où $f'(x)=0$), alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

4. Dérivée de l'inverse ; pour aller plus loin : $x \mapsto g(ax + b)$

• Si $v$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$ : $$\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$$

Exemple : $\left(\frac{1}{x^2 + 1}\right)' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.

• Pour aller plus loin (formule étudiée en terminale) : si $g$ est dérivable, la fonction $x \mapsto g(ax + b)$ a pour dérivée $$x \mapsto a\,g'(ax + b)$$

Exemples : la dérivée de $(3x - 1)^4$ est $3 \times 4(3x - 1)^3 = 12(3x - 1)^3$ ; la dérivée de $\sqrt{2x + 1}$ est $2 \times \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ sur $\left]-\frac{1}{2} ; +\infty\right[$.

5. Extremum local et dérivée

Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $c \in I$.

• Si $f$ admet un extremum local en $c$, alors $f'(c) = 0$ : la tangente à la courbe au point d'abscisse $c$ est horizontale.
• Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $c$, alors $f(c)$ est un extremum local : maximum si $f'$ passe de $+$ à $-$, minimum si $f'$ passe de $-$ à $+$.

Contre-exemple : pour $f(x) = x^3$, $f'(x) = 3x^2$ s'annule en $0$ sans changer de signe : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ et $f(0)$ n'est pas un extremum.

Fonctions paires, fonctions impaires

Soit $f$ définie sur un ensemble $\mathcal{D}$ symétrique par rapport à $0$ (si $x \in \mathcal{D}$, alors $-x \in \mathcal{D}$).

• $f$ est paire si pour tout $x \in \mathcal{D}$, $f(-x) = f(x)$ : dans un repère orthogonal, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Exemples : $x \mapsto x^2$, $x \mapsto |x|$, $x \mapsto x^4 - 3x^2$.
• $f$ est impaire si pour tout $x \in \mathcal{D}$, $f(-x) = -f(x)$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. Exemples : $x \mapsto x^3$, $x \mapsto \frac{1}{x}$, $x \mapsto x^3 - 3x$.

Exemple : $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $f(-x) = \frac{-x}{x^2 + 1} = -f(x)$ : $f$ est impaire.

• Intérêt : il suffit d'étudier une fonction paire ou impaire sur $\mathcal{D} \cap [0 ; +\infty[$, puis de compléter la courbe par symétrie.
• La fonction racine carrée n'est ni paire ni impaire, car $[0 ; +\infty[$ n'est pas symétrique par rapport à $0$.

Étude d'une fonction polynôme du second degré par la dérivation

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Alors $f'(x) = 2ax + b$, qui s'annule en $\alpha = -\frac{b}{2a}$ en changeant de signe.

• Si $a > 0$ : $f'(x) < 0$ pour $x < \alpha$ et $f'(x) > 0$ pour $x > \alpha$ ; $f$ est décroissante puis croissante et admet un minimum $f(\alpha)$. La parabole est « tournée vers le haut ».
• Si $a < 0$ : $f$ est croissante puis décroissante et admet un maximum $f(\alpha)$.

Exemple : $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, $f'(x) = -2x + 6$ s'annule en $3$ : $f$ est croissante sur $]-\infty ; 3]$, décroissante sur $[3 ; +\infty[$, et son maximum vaut $f(3) = 4$.

Démonstration : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$

La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $[0 ; +\infty[$. Pour $h > 0$, son taux de variation entre $0$ et $h$ vaut
$$\frac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{\left(\sqrt{h}\right)^2} = \frac{1}{\sqrt{h}}$$
Quand $h$ tend vers $0$, $\sqrt{h}$ tend vers $0$ et $\frac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand que l'on veut (pour $h = 10^{-6}$, il vaut déjà $1\,000$). Le taux de variation n'a pas de limite finie : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$. Graphiquement, la courbe admet en l'origine une tangente verticale.
En revanche, pour $a > 0$ : $\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(\sqrt{a + h} - \sqrt{a})(\sqrt{a + h} + \sqrt{a})}{h(\sqrt{a + h} + \sqrt{a})} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$, qui tend vers $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ : on retrouve $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0 ; +\infty[$.

Démonstration : dérivées des fonctions carré et inverse

• Carré : pour tout réel $a$ et tout $h \neq 0$, $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$, qui tend vers $2a$ quand $h$ tend vers $0$. La fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(x^2)' = 2x$.
• Inverse : pour $a \neq 0$ et $h \neq 0$ assez petit pour que $a + h \neq 0$ :

$$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{a - (a + h)}{h \times a(a + h)} = \frac{-h}{h \times a(a + h)} = \frac{-1}{a(a + h)}$$
Quand $h$ tend vers $0$, $a(a + h)$ tend vers $a^2$, donc le taux tend vers $-\frac{1}{a^2}$. La fonction inverse est dérivable sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$, et $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$.

Démonstration : dérivée d'un produit

Soient $u$ et $v$ dérivables en $a$ et $f = uv$. Pour $h \neq 0$, on ajoute et on retranche $u(a)\,v(a + h)$ au numérateur du taux de variation :
$$\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{u(a + h)v(a + h) - u(a)v(a + h) + u(a)v(a + h) - u(a)v(a)}{h}$$
$$= \frac{u(a + h) - u(a)}{h} \times v(a + h) + u(a) \times \frac{v(a + h) - v(a)}{h}$$
Quand $h$ tend vers $0$ : le premier quotient tend vers $u'(a)$, $v(a + h)$ tend vers $v(a)$ (on admet qu'une fonction dérivable en $a$ a cette propriété) et le dernier quotient tend vers $v'(a)$. Donc $f$ est dérivable en $a$ et $$f'(a) = u'(a)\,v(a) + u(a)\,v'(a)$$

6. Algorithme : méthode de Newton

Pour approcher une solution de $f(x) = 0$, on part d'une valeur $x_0$ et on remplace $x_n$ par l'abscisse du point où la tangente en $x_n$ coupe l'axe des abscisses. La tangente $y = f'(x_n)(x - x_n) + f(x_n)$ coupe cet axe pour $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \quad (\text{si } f'(x_n) \neq 0)$$
Avec $f(x) = x^2 - 2$, $f'(x) = 2x$ et $x_0 = 1$ : $x_1 = 1{,}5$, $x_2 \approx 1{,}416\,67$, $x_3 \approx 1{,}414\,216$ ; la suite approche très vite $\sqrt{2} \approx 1{,}414\,214$.

def newton(x, n):
    for k in range(n):
        x = x - (x ** 2 - 2) / (2 * x)
    return x

On se limite à des cas favorables : la méthode peut échouer si $f'(x_n)$ est nul ou très petit.

Automatismes pour l'épreuve anticipée

L'épreuve anticipée de mathématiques (2 heures, sans calculatrice) commence par un QCM d'automatismes (6 points sur 20), suivi d'exercices (14 points). Questions flash typiques sur ce chapitre, à traiter de tête :

• Dérivées immédiates : $(x^3)' = 3x^2$ ; $(5x^2 - 3x + 1)' = 10x - 3$ ; $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• Si $f'(x) = (x - 1)(x + 3)$, alors $f$ est décroissante sur $[-3 ; 1]$ (trinôme de coefficient $1 > 0$, négatif entre ses racines).
• Passer d'un tableau de signes de $f'$ au tableau de variations de $f$, et inversement.
• Repérer sur une courbe les points à tangente horizontale (où $f'$ s'annule).
• Ne pas confondre le signe de $f$ (position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses) et le signe de $f'$ (sens de variation).