Cours et exercices corrigés de 3e : Arithmétique et Nombres premiers

1. Multiples, diviseurs et critères de divisibilité

• Un entier $a$ est divisible par $b$ s'il existe un entier $c$ tel que $a = b \times c$ (le reste de la division euclidienne est 0).
• Critères de divisibilité :

- par 2 : chiffre des unités pair (0, 2, 4, 6, 8)
- par 3 : la somme des chiffres est un multiple de 3
- par 5 : chiffre des unités 0 ou 5
- par 9 : la somme des chiffres est un multiple de 9
- par 10 : chiffre des unités 0.

2. Nombres premiers

Un nombre entier naturel est premier s'il possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

• 0 et 1 ne sont PAS des nombres premiers (1 n'a qu'un seul diviseur, lui-même).
• 2 est le seul nombre premier pair.
• La liste des nombres premiers $< 30$ : $$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$$

3. Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout entier $\ge 2$ se décompose de façon unique en un produit de facteurs premiers.
Méthode par divisions successives :
$$84 \div 2 = 42 \quad 42 \div 2 = 21 \quad 21 \div 3 = 7 \quad 7 \div 7 = 1$$
Donc : $$84 = 2^2 \times 3 \times 7$$
$$147 = 3 \times 7^2$$

4. PGCD, PPCM et fractions irréductibles

• PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) : produit des facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant. Comme $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $147 = 3 \times 7^2$ : $\text{PGCD}(84 ; 147) = 3 \times 7 = 21$.
• Fraction irréductible : on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD : $\frac{84}{147} = \frac{21 \times 4}{21 \times 7} = \frac{4}{7}$.
• Problème de partage : 84 sucettes et 147 bonbons répartis sans reste dans un maximum de sachets identiques : $\text{PGCD}(84 ; 147) = 21$ sachets, contenant chacun 4 sucettes et 7 bonbons.
• PPCM (Plus Petit Commun Multiple) : produit de tous les facteurs premiers présents, chacun avec le plus grand exposant. Il sert quand des phénomènes répétitifs « se retrouvent » (engrenages, feux, bus).
• Exemple (engrenages) : une roue de 12 dents entraîne une roue de 18 dents. $12 = 2^2 \times 3$ et $18 = 2 \times 3^2$, donc $\text{PPCM}(12 ; 18) = 2^2 \times 3^2 = 36$ : les deux roues reviennent ensemble en position de départ après 36 dents, soit 3 tours de la petite roue et 2 tours de la grande.

À retenir pour le brevet

• Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même ; 0 et 1 ne sont pas premiers.
• Nombres premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
• Critères : par 2 (chiffre des unités pair), par 3 ou 9 (somme des chiffres), par 5 (unités 0 ou 5).
• Partage en lots identiques maximaux → diviseur commun (PGCD) ; retour simultané → multiple commun (PPCM).

Automatismes (questions flash) :

• Décomposer $72$ → $2^3 \times 3^2$.
• $1\,035$ est-il divisible par 9 ? → oui, $1 + 0 + 3 + 5 = 9$.
• $91$ est-il premier ? → non, $91 = 7 \times 13$.