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3e · Espace et Géométrie · G2

Cours et exercices corrigés de 3e : Trigonométrie dans le triangle rectangle

Cosinus, sinus et tangente (CAH-SOH-TOA), calcul de longueurs et détermination d'angles au degré près.

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Objectifs du chapitre

Le cours

1. Définition des trois rapports trigonométriques : SOH-CAH-TOA

Dans un triangle rectangle, pour tout angle aigu α\alpha :

  • Sinus : sin⁡(α)=Coˆteˊ OpposeˊHypoteˊnuse\sin(\alpha) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Hypoténuse}} (S-O-H)
  • Cosinus : cos⁡(α)=Coˆteˊ AdjacentHypoteˊnuse\cos(\alpha) = \frac{\text{Côté Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} (C-A-H)
  • Tangente : tan⁡(α)=Coˆteˊ OpposeˊCoˆteˊ Adjacent\tan(\alpha) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} (T-O-A)
α B A C Hypoténuse [AC] Côté adjacent à α [BC] Côté opposé à α [AB]

Règle d'or du cours : Ces formules ne s'appliquent JAMAIS sur l'angle droit !

2. Propriétés fondamentales à retenir

Pour tout angle aigu α\alpha d'un triangle rectangle :

  • Le cosinus et le sinus sont toujours strictement compris entre 0 et 1 :

0<cos⁡(α)<1et0<sin⁡(α)<10 < \cos(\alpha) < 1 \quad \text{et} \quad 0 < \sin(\alpha) < 1
(Car l'hypoténuse est le côté le plus long : le quotient par l'hypoténuse est toujours inférieur à 1).

  • La tangente d'un angle aigu est strictement positive : tan⁡(α)>0\tan(\alpha) > 0 (elle peut être supérieure à 1).
  • Mode de calculatrice : Vérifier impérativement que la calculatrice est en mode DEG (Degrés) et non en Radian (RAD) !

3. Démarche pour calculer une longueur inconnue

Pour calculer une longueur avec la trigonométrie :
1. Repérage : identifier le côté connu et le côté cherché par rapport à l'angle aigu donné.
2. Choix de la formule à l'aide de SOH-CAH-TOA :

  • Opposé et Hypoténuse   ⟹  \implies Sinus
  • Adjacent et Hypoténuse   ⟹  \implies Cosinus
  • Opposé et Adjacent   ⟹  \implies Tangente

3. Remplacement et calcul : écrire l'égalité numérique puis isoler la longueur cherchée à l'aide d'un produit en croix.

4. Démarche pour calculer un angle aigu

Pour déterminer la mesure d'un angle au degré près :
1. Choix de la formule selon les deux longueurs connues (cos, sin ou tan).
2. Calcul du quotient : écrire le rapport (ex: cos⁡(A^)=47\cos(\widehat{A}) = \frac{4}{7}).
3. Touche inverse à la calculatrice : utiliser Arccos, Arcsin ou Arctan (notées cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹) avec la calculatrice impérativement en mode DEG !

À retenir pour le brevet

  • Dans un triangle rectangle seulement : cos⁡=adjhyp\cos = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}, sin⁡=opphyp\sin = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}, tan⁡=oppadj\tan = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}.
  • On repère d'abord l'hypoténuse, puis les côtés opposé et adjacent à l'angle utilisé.
  • Longueur cherchée : égalité puis produit en croix. Angle cherché : touches cos⁡−1\cos^{-1}, sin⁡−1\sin^{-1}, tan⁡−1\tan^{-1}.
  • Calculatrice en mode degré.

Automatismes :

  • cos⁡(60∘)\cos(60^\circ) ? →\to 0,50{,}5.
  • Dans ABCABC rectangle en BB, le côté opposé à A^\widehat{A} ? →\to [BC][BC].
  • tan⁡(α)=1\tan(\alpha) = 1 pour un angle aigu : α\alpha ? →\to 45∘45^\circ.

Méthodes et exemples rédigés

Modèle de rédaction (brevet) : Calculer une longueur avec la trigonométrie

Exemple

Soit un triangle ABCABC rectangle en BB tel que AC=8 cmAC = 8\text{ cm} et ACB^=35∘\widehat{ACB} = 35^\circ. Calculer la longueur ABAB arrondie au millimètre près.

35° B A C AB = ? AC = 8 cm

  1. 1. Énoncer les hypothèses et repérer les côtés :
    Dans le triangle ABCABC rectangle en BB, [AC][AC] est l'hypoténuse. Par rapport à l'angle connu ACB^=35∘\widehat{ACB} = 35^\circ, le côté cherché [AB][AB] est le côté opposé.

  2. 2. Choisir la formule trigonométrique adaptée :
    On connaît l'hypoténuse et on cherche le côté opposé : on utilise le sinus (SOH) :
    sin⁡(ACB^)=ABAC\sin(\widehat{ACB}) = \frac{AB}{AC}

  3. 3. Remplacer par les valeurs numériques :
    sin⁡(35∘)=AB8\sin(35^\circ) = \frac{AB}{8}

  4. 4. Calculer par produit en croix :
    AB=8×sin⁡(35∘)AB = 8 \times \sin(35^\circ)

  5. 5. Conclure avec l'arrondi demandé :
    À la calculatrice (en mode Degré) : 8×sin⁡(35∘)≈4,588...8 \times \sin(35^\circ) \approx 4{,}588...
    La longueur ABAB mesure environ 4,6 cm4{,}6\text{ cm} au millimètre près.

    (Remarque : si l'inconnue était au dénominateur, par exemple cos⁡(40∘)=5AC\cos(40^\circ) = \frac{5}{AC}, on obtiendrait AC=5cos⁡(40∘)≈6,5 cmAC = \frac{5}{\cos(40^\circ)} \approx 6{,}5\text{ cm}).

Modèle de rédaction (brevet) : Calculer un angle au degré près

Exemple

Soit un triangle ABCABC rectangle en BB tel que AB=4 cmAB = 4\text{ cm} et AC=7 cmAC = 7\text{ cm}. Calculer la mesure de l'angle BAC^\widehat{BAC} au degré près.

? B A C AB = 4 cm AC = 7 cm

  1. Étape 1 (Repérage des côtés) : [AC][AC] est l'hypoténuse (en face de l'angle droit BB) et [AB][AB] est le côté adjacent à l'angle cherché BAC^\widehat{BAC}.

  2. Étape 2 (Choix de formule) : On connaît le côté adjacent et l'hypoténuse : on utilise le cosinus (CAH) :
    cos⁡(BAC^)=ABAC\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC}

  3. Étape 3 (Calcul du rapport) :
    cos⁡(BAC^)=47\cos(\widehat{BAC}) = \frac{4}{7}

  4. Étape 4 (Calculatrice en mode Degré) :
    À la calculatrice : BAC^=arccos⁡(4/7)≈55,15∘\widehat{BAC} = \arccos(4/7) \approx 55{,}15^\circ.
    L'angle BAC^\widehat{BAC} mesure environ 55∘55^\circ au degré près.

Modèle de rédaction (brevet) : Un problème concret avec la trigonométrie

Exemple

Une échelle de 55 m est appuyée contre un mur vertical ; son pied est à 1,51{,}5 m du mur, sur un sol horizontal. Pour être utilisée en sécurité, l'échelle doit faire avec le sol un angle compris entre 65∘65^\circ et 75∘75^\circ. Est-ce le cas ?

  1. 1. Modéliser : le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle (le mur est perpendiculaire au sol). L'échelle (55 m) est l'hypoténuse ; la distance au mur (1,51{,}5 m) est le côté adjacent à l'angle α\alpha entre l'échelle et le sol.

  2. 2. Choisir la formule : adjacent et hypoténuse ⇒\Rightarrow cosinus : cos⁡(α)=1,55=0,3\cos(\alpha) = \dfrac{1{,}5}{5} = 0{,}3.

  3. 3. Calculatrice (mode degré) : α=arccos⁡(0,3)≈72,5∘\alpha = \arccos(0{,}3) \approx 72{,}5^\circ.

  4. 4. Conclure : 65∘<72,5∘<75∘65^\circ < 72{,}5^\circ < 75^\circ, l'échelle est placée en sécurité.

Pièges fréquents

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quel moyen mnémotechnique permet de mémoriser les formules trigonométriques ?

SOH - CAH - TOA
(Sin = Opp/Hyp ; Cos = Adj/Hyp ; Tan = Opp/Adj).

Entre quelles valeurs le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont-ils toujours compris ?

Strictement entre 0 et 1 (0<cos⁡<10 < \cos < 1 et 0<sin⁡<10 < \sin < 1).

Quelle touche de la calculatrice permet de trouver un angle connaissant son sinus ?

La touche Arcsin (ou sin⁡−1\sin^{-1}).

Quelle touche de la calculatrice permet de déterminer un angle connaissant son cosinus ?

La touche Arccos (ou cos⁡−1\cos^{-1}).

Peut-on appliquer les formules de trigonométrie dans un triangle qui n'est pas rectangle ?

Non, elles ne sont valables que dans un triangle rectangle.

ABCABC rectangle en AA, BC=10BC = 10 cm et B^=30∘\widehat{B} = 30^\circ. Que vaut ACAC ?

AC=10×sin⁡(30∘)=10×0,5=5AC = 10 \times \sin(30^\circ) = 10 \times 0{,}5 = 5 cm ([AC][AC] est opposé à B^\widehat{B}).

Exercices corrigés

Exercice 1 Moyen mnémotechnique CAH SOH TOA

Palier 1 · découverte

Dans un triangle rectangle, quelle est la formule du cosinus d'un angle aigu ?

  1. cos⁡=AdjacentHypoteˊnuse\cos = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}
  2. cos⁡=OpposeˊHypoteˊnuse\cos = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}
  3. cos⁡=OpposeˊAdjacent\cos = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}
  4. cos⁡=HypoteˊnuseAdjacent\cos = \frac{\text{Hypoténuse}}{\text{Adjacent}}
Un indice

Rappelle-toi du mot magique : CAH - SOH - TOA.

Voir la correction

Bonne réponse : A. cos⁡=AdjacentHypoteˊnuse\cos = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}

Exact ! CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse.

D'après la définition du cosinus dans un triangle rectangle (CAH) :
cos⁡(A^)=Coˆteˊ AdjacentHypoteˊnuse\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{Côté Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}

Exercice 2 Déterminer un angle au degré près

Palier 2 · application

Soit DEFDEF un triangle rectangle en DD tel que DE=6 cmDE = 6\text{ cm} (adjacent) et DF=8 cmDF = 8\text{ cm} (opposé à E^\widehat{E}).
Quelle formule permet de calculer l'angle E^\widehat{E} ?

  1. tan⁡(E^)=86\tan(\widehat{E}) = \frac{8}{6} donc E^=arctan⁡(8/6)≈53∘\widehat{E} = \arctan(8/6) \approx 53^\circ
  2. cos⁡(E^)=86\cos(\widehat{E}) = \frac{8}{6}
  3. sin⁡(E^)=68\sin(\widehat{E}) = \frac{6}{8}
  4. tan⁡(E^)=68\tan(\widehat{E}) = \frac{6}{8}
Un indice

Par rapport à l'angle E^\widehat{E}, DFDF est le côté opposé et DEDE le côté adjacent. Quel rapport utilise opposé et adjacent ?

Voir la correction

Bonne réponse : A. tan⁡(E^)=86\tan(\widehat{E}) = \frac{8}{6} donc E^=arctan⁡(8/6)≈53∘\widehat{E} = \arctan(8/6) \approx 53^\circ

Exact ! On connaît le côté opposé (DF=8DF=8) et le côté adjacent (DE=6DE=6), donc on utilise la tangente (TOA). arctan⁡(8/6)≈53,13∘≈53∘\arctan(8/6) \approx 53,13^\circ \approx 53^\circ.

Dans le triangle DEFDEF rectangle en DD :
tan⁡(E^)=DFDE=86=43≈1,333\tan(\widehat{E}) = \frac{DF}{DE} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1,333
À la calculatrice en mode Degré :
E^=arctan⁡(43)≈53,13∘≈53∘\widehat{E} = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53,13^\circ \approx 53^\circ

Exercice 3 Hauteur d'un arbre / Tâche Brevet

Palier 3 · approfondissement

Un observateur placé à 20 m20\text{ m} du pied d'un arbre vertical voit son sommet sous un angle de 35∘35^\circ avec l'horizontale.
En arrondissant tan⁡(35∘)≈0,7\tan(35^\circ) \approx 0,7, quelle est la hauteur de l'arbre en mètres ?

Un indice

Le sol et l'arbre forment un triangle rectangle. La distance au pied est le côté adjacent (20 m20\text{ m}) et la hauteur est le côté opposé.

Voir la correction

Réponse attendue : 14

Soit hh la hauteur de l'arbre :
tan⁡(35∘)=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent=h20\tan(35^\circ) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{h}{20}
h=20×tan⁡(35∘)≈20×0,7=14 mh = 20 \times \tan(35^\circ) \approx 20 \times 0,7 = 14\text{ m}

Exercice 4 Défi Seconde : Formule cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

Palier 4 · défi

Sans calculatrice, sachant que cos⁡(x)=45\cos(x) = \frac{4}{5}, calculer la valeur exacte de sin⁡(x)\sin(x) sous forme de fraction.

Un indice

Utilise la formule fondamentale : cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1.

Voir la correction

Réponse attendue : 3/5

cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1  ⟹  sin⁡2(x)=1−(45)2=1−1625=925\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \implies \sin^2(x) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
Comme xx est un angle aigu, sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 :
sin⁡(x)=925=35\sin(x) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}