Homothéties en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Définir une homothétie par son centre $O$ et son rapport $k$ ( $k \neq 0$ ).
Distinguer homothétie de rapport positif ( $k > 0$ , même côté) et de rapport négatif ( $k < 0$ , côtés opposés).
Reconnaître qu'une homothétie de rapport $-1$ est une symétrie centrale.
Maîtriser les effets d'échelle : longueurs multipliées par $|k|$ , aires par $k^2$ , volumes par $|k|^3$ .

Le cours

1. Définition et configurations d'une homothétie

Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ ( $k \neq 0$ ) associe à tout point $M$ un point $M'$ tel que :

Les points $O, M, M'$ sont alignés.
La distance au centre est multipliée par $|k|$ : $OM' = |k| \times OM$ .
Si $k > 0$ : $M$ et $M'$ sont du même côté par rapport à $O$ .
Si $k < 0$ : $M$ et $M'$ sont de côtés opposés par rapport à $O$ ( $O$ est entre $M$ et $M'$ , la figure fait un demi-tour).

2. Cas particuliers remarquables

Si $k = 1$ : la figure ne change pas (transformation identité).
Si $k = -1$ : c'est exactement une symétrie centrale de centre $O$ !
Si $|k| > 1$ : c'est un agrandissement.
Si $|k| < 1$ : c'est une réduction.

3. Effets d'échelle sur les grandeurs

Dans une homothétie de rapport $k$ (ou agrandissement/réduction de coefficient $k$ ) :

Les longueurs sont multipliées par $|k|$ .
Les aires sont multipliées par $k^2$ .
Les volumes sont multipliés par $|k|^3$ .

4. Conservations géométriques

L'homothétie conserve :

La mesure des angles (les figures sont semblables, de même forme).
Le parallélisme et l'alignement des points.

À retenir pour le brevet

Homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ : $O$ , $M$ , $M'$ alignés et $OM' = |k| \times OM$ .
$k > 0$ : même côté de $O$ ; $k < 0$ : de part et d'autre de $O$ .
$|k| > 1$ : agrandissement ; $|k| < 1$ : réduction ; $k = -1$ : symétrie centrale.
Longueurs $\times |k|$ , aires $\times k^2$ , volumes $\times |k|^3$ ; angles et parallélisme conservés.

Automatismes :

Rapport $3$ : une aire de $5$ cm² devient ? $\to$ $45$ cm².
Rapport $\dfrac{1}{2}$ : un volume de $80$ cm³ devient ? $\to$ $10$ cm³.
$OA = 4$ et rapport $-2$ : $OA'$ ? $\to$ $8$ , de l'autre côté de $O$ .

Méthodes et exemples rédigés

Modèle de rédaction (brevet) : Construire l'image d'une figure par une homothétie

Exemple

Sur la figure ci-dessous, construire l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$ .

1. Tracer les demi-droites d'origine $O$ :
Tracer en pointillés les demi-droites $[OA)$ , $[OB)$ et $[OC)$ issues du centre $O$ et passant par chaque sommet du triangle initial.
2. Calculer les distances des images :
Le rapport d'homothétie étant $k = 2$ ( $k > 0$ , les points $M$ et $M'$ sont du même côté de $O$ ) :
- $OA' = 2 \times OA = 2 \times 3\text{ cm} = 6\text{ cm}$ .
- $OB' = 2 \times OB$ .
- $OC' = 2 \times OC$ .
3. Placer les sommets images :
À la règle graduée, placer les points $A', B', C'$ sur les demi-droites respectives aux distances calculées.
4. Tracer la figure image :
Relier les points $A', B', C'$ pour obtenir le triangle agrandi $A'B'C'$ (ses longueurs sont 2 fois plus grandes et ses côtés sont parallèles à ceux de $ABC$ ).

Modèle de rédaction (brevet) : Calculer l'impact d'une homothétie sur une aire et un volume

Exemple

Une maquette de bateau est réalisée à l'échelle 1/50 (homothétie de rapport k = 0,02). L'aire des voiles sur la maquette est 0,08 m² et le volume de la coque est 0,016 m³. Calculer l'aire et le volume réels.

Étape 1 (Rapport d'agrandissement) : Pour passer de la maquette au bateau réel, le coefficient d'agrandissement est $K = 50$ .
Étape 2 (Calcul de l'aire réelle) :
L'aire est multipliée par $K^2 = 50^2 = 2\,500$ :
$\text{Aire réelle} = 0{,}08 \times 50^2 = 0{,}08 \times 2\,500 = 200\text{ m}^2$
Étape 3 (Calcul du volume réel) :
Le volume est multiplié par $K^3 = 50^3 = 125\,000$ :
$\text{Volume réel} = 0{,}016 \times 50^3 = 0{,}016 \times 125\,000 = 2\,000\text{ m}^3$

Méthode : Homothétie de rapport négatif

Exemple

Le triangle $ABC$ a une aire de $12$ cm² et $OA = 6$ cm. On construit son image $A'B'C'$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -0{,}5$ . Où placer $A'$ ? Quelle est l'aire de $A'B'C'$ ?

1. Position de $A'$ : $k < 0$ , donc $A'$ est sur la droite $(OA)$ , de l'autre côté de $O$ par rapport à $A$ .
2. Distance : $OA' = |k| \times OA = 0{,}5 \times 6 = 3$ cm.
3. Aire : les aires sont multipliées par $k^2 = (-0{,}5)^2 = 0{,}25$ , donc $\mathcal{A}' = 0{,}25 \times 12 = 3$ cm².
4. Bilan : c'est une réduction ( $|k| < 1$ ) accompagnée d'un demi-tour autour de $O$ .

Pièges fréquents

Dans un rapport négatif, oublier d'inverser le côté par rapport au centre $O$ : pour $k = -2$ , $M'$ est de l'autre côté de $O$ !
Multiplier une aire par $k$ au lieu de $k^2$ , ou un volume par $k$ au lieu de $k^3$ .
Le rapport se calcule « image sur départ » : si $OA = 4$ et $OA' = 10$ , alors $|k| = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$ et non $0{,}4$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Par combien est multipliée l'aire d'une figure agrandie avec un rapport

k = 4

?

Par $k^2 = 4^2 = 16$ !

Par combien est multiplié le volume d'un solide réduit d'un facteur 1/2 ?

Par $(1/2)^3 = \frac{1}{8}$ (il devient 8 fois plus petit).

À quelle transformation géométrique équivaut une homothétie de rapport

k = -1

?

À une symétrie centrale de centre $O$ .

Où se situe l'image

M'

si le rapport d'homothétie est strictement négatif (

k < 0

) ?

De l'autre côté du centre $O$ par rapport à $M$ ( $O$ est entre $M$ et $M'$ ).

Une homothétie modifie-t-elle la mesure des angles d'un polygone ?

Non, l'homothétie conserve scrupuleusement la mesure des angles (les figures ont exactement la même forme).

Une homothétie de rapport

k = -3

est-elle un agrandissement ?

Oui : $|k| = 3 > 1$ (avec en plus un demi-tour autour du centre).

Exercices corrigés

Exercice 1 Effet de l'homothétie sur les longueurs

Palier 1 · découverte

Une homothétie de rapport $k = -3$ transforme un segment de longueur $4\text{ cm}$ . Quelle est la longueur du segment image ?

Un indice

Une longueur est toujours strictement positive ! La longueur est multipliée par $|k|$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 12

Dans une homothétie de rapport $k$ , les longueurs sont multipliées par $|k|$ :
$L' = |-3| \times 4 = 3 \times 4 = 12\text{ cm}$

Exercice 2 Effet de l'homothétie sur les aires

Palier 2 · application

Une figure d'aire $8\text{ cm}^2$ subit un agrandissement de rapport $k = 2,5$ .
Quelle est l'aire de la figure obtenue en $\text{cm}^2$ ?

Un indice

Dans une homothétie de rapport $k$ , les aires sont multipliées par $k^2$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 50

$\text{Aire}' = k^2 \times \text{Aire} = 2,5^2 \times 8 = 6,25 \times 8 = 50\text{ cm}^2$

Exercice 3 Effet sur les volumes (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Une bouteille miniature de parfum à l'échelle $k = \frac{1}{2}$ a une contenance de $15\text{ mL}$ .
Quelle est la contenance de la bouteille réelle en millilitres ?

Un indice

Le rapport d'agrandissement de la miniature vers le réel est $2$ . Les volumes sont multipliés par $2^3$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 120

Pour passer de la maquette au modèle réel, le coefficient d'agrandissement est $2$ . Le volume est multiplié par $2^3 = 8$ :
$V = 15 \times 8 = 120\text{ mL}$

Exercice 4 Défi Seconde : Rapport négatif et centre

Palier 4 · défi

Si une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -2$ transforme $A$ en $A'$ , laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

$O$ est situé entre $A$ et $A'$ et $OA' = 2 \times OA$
$A$ est situé entre $O$ et $A'$
$OA' = -2 \times OA$
L'aire est multipliée par $-4$

Un indice

Quand le rapport $k$ est négatif, $A$ et $A'$ sont alignés avec $O$ , mais de part et d'autre du centre $O$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $O$ est situé entre $A$ et $A'$ et $OA' = 2 \times OA$

Exact ! Comme $k < 0$ , $A$ et $A'$ sont de part et d'autre du centre $O$ , et les distances sont positives ( $OA' = 2 OA$ ).

Un rapport négatif $k = -2$ provoque un demi-tour par rapport au centre $O$ . Le point $O$ est donc situé entre $A$ et $A'$ , et la distance $OA' = |-2| \times OA = 2 OA$ .