Théorème de Pythagore en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Utiliser le théorème de Pythagore direct pour calculer la longueur de l'hypoténuse ou d'un côté de l'angle droit.
Rédiger la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer qu'un triangle est rectangle.
Rédiger la contraposée pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.
Distinguer rigoureusement valeur exacte avec racine carrée et valeur arrondie.

Le cours

1. Le Théorème direct (Calcul de longueur)

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Calcul de l'hypoténuse : $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$ .
Calcul d'un côté de l'angle droit : $AB^2 = BC^2 - AC^2 \implies AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$ .

2. Réciproque et Contraposée (Démontrer l'orthogonalité)

Soit $[BC]$ le plus grand côté d'un triangle $ABC$ :

Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ (d'après la réciproque du théorème de Pythagore).
Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ , alors le triangle n'est pas rectangle (d'après la contraposée).

Règle d'or : On calcule toujours $BC^2$ d'une part, et $AB^2 + AC^2$ d'autre part séparément !

3. Rédaction type pour calculer une longueur (Théorème direct)

Pour calculer une longueur avec le théorème direct de Pythagore :
1. Préciser le triangle et le sommet de l'angle droit : « Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , »
2. Citer le théorème : « d'après le théorème de Pythagore : »
3. Écrire l'égalité : $BC^2 = AB^2 + AC^2$
4. Remplacer par les valeurs et calculer.
5. Justifier et conclure avec la racine carrée : comme une longueur est positive ( $BC > 0$ ), $BC = \sqrt{\dots}$ .

4. Valeur exacte vs Valeur arrondie

Valeur exacte : $BC = \sqrt{65}$ cm.
Valeur arrondie : $BC \approx 8{,}1$ cm (au dixième près).

À retenir pour le brevet

Hypoténuse = côté opposé à l'angle droit = plus long côté.
Triangle rectangle connu $\Rightarrow$ théorème de Pythagore pour calculer une longueur.
Trois longueurs connues $\Rightarrow$ réciproque (égalité vraie) ou contraposée (égalité fausse) pour démontrer.
Valeur exacte $\sqrt{\dots}$ , puis arrondi avec $\approx$ seulement à la fin.

Automatismes :

Hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $3$ et $4$ ? $\to$ $5$ .
$10^2 - 8^2$ ? $\to$ $36$ , donc le côté manquant d'un triangle rectangle d'hypoténuse $10$ et de côté $8$ vaut $6$ .
Un triangle de côtés $7$ , $24$ , $25$ est-il rectangle ? $\to$ oui : $49 + 576 = 625 = 25^2$ .

Méthodes et exemples rédigés

Modèle de rédaction (brevet) : Calculer une longueur (Théorème direct)

Exemple

Soit un triangle EFG rectangle en E tel que EF = 4,5 cm et EG = 6 cm. Calculer la longueur FG.

1. Énoncer les hypothèses : Dans le triangle $EFG$ rectangle en $E$ ,
2. Citer le théorème : d'après le théorème de Pythagore :
3. Poser l'égalité : $FG^2 = EF^2 + EG^2$
4. Calculer : $FG^2 = 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25$
5. Conclure : Comme une longueur est positive ( $FG > 0$ ) :
$FG = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5\text{ cm}$
(Pour calculer un côté de l'angle droit, on soustrait : $EF^2 = FG^2 - EG^2$ ).

Modèle de rédaction (brevet) : Démontrer qu'un triangle est rectangle (Réciproque)

Exemple

Soit un triangle MNP tel que MN = 6 cm, NP = 8 cm, MP = 10 cm. Est-il rectangle ?

1. Identifier le plus long côté : Dans le triangle $MNP$ , le plus grand côté est $[MP]$ .
2. Calculer séparément :
- D'une part : $MP^2 = 10^2 = 100$ .
- D'autre part : $MN^2 + NP^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ .
3. Conclure rigoureusement : On constate que $MP^2 = MN^2 + NP^2$ . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $MNP$ est rectangle en $N$ .

Modèle de rédaction (brevet) : Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle (Contraposée)

Exemple

Soit un triangle ABC tel que AB = 4 cm, BC = 6 cm et AC = 7,5 cm. Le triangle ABC est-il rectangle ?

1. Identifier le plus long côté : Dans le triangle $ABC$ , le plus grand côté est $[AC]$ .
2. Calculer séparément :
- D'une part : $AC^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25$ .
- D'autre part : $AB^2 + BC^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$ .
3. Conclure rigoureusement : On constate que $AC^2 \neq AB^2 + BC^2$ . D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.

Pièges fréquents

Ne JAMAIS écrire $MP^2 = MN^2 + NP^2$ au début de la démonstration : on calcule les deux membres séparément !
Pour un côté de l'angle droit, soustraire les carrés : $AB^2 = BC^2 - AC^2$ . Ne pas additionner !
Se tromper d'hypoténuse : dans un triangle rectangle en $E$ , l'hypoténuse est le côté qui ne contient pas $E$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quel est l'énoncé du théorème de Pythagore ?

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
$BC^2 = AB^2 + AC^2$

À quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?

Elle permet de démontrer qu'un triangle est rectangle en comparant le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.

Que conclut-on si

BC^2 \neq AB^2 + AC^2

?

D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.

Comment calcule-t-on la longueur d'un côté de l'angle droit ?

$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$
(On soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse).

Quelle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle en F ?

Le côté opposé au sommet F, c'est-à-dire le segment $[DE]$ si le triangle s'appelle DEF.

Valeur exacte de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 2 cm et 5 cm ?

$\sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}$ cm (environ 5,4 cm).

Exercices corrigés

Exercice 1 Calcul de l'hypoténuse (Triplet 3-4-5)

Palier 1 · découverte

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 3\text{ cm}$ et $AC = 4\text{ cm}$ .
Calculer la longueur de l'hypoténuse $BC$ (en cm).

Un indice

Le triangle est rectangle en $A$ , donc son hypoténuse est $[BC]$ . Applique le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .

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Réponse attendue : 5

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ :
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
Comme $BC > 0$ :
$BC = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$

Exercice 2 Réciproque du théorème de Pythagore

Palier 2 · application

Un triangle a pour côtés $5\text{ cm}, 12\text{ cm}$ et $13\text{ cm}$ . Ce triangle est-il rectangle ?

Oui, car $13^2 = 5^2 + 12^2 = 169$
Non, car $5+12 \neq 13$
On ne peut pas savoir sans connaître les angles
Non, car $13^2 = 169$ et $5^2+12^2=144$

Un indice

Identifie le plus grand côté ( $13\text{ cm}$ ) et calcule son carré séparément.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Oui, car $13^2 = 5^2 + 12^2 = 169$

Exact ! Le plus grand côté au carré ( $13^2 = 169$ ) est égal à la somme des carrés des deux autres ( $25 + 144 = 169$ ). D'après la réciproque de Pythagore, il est rectangle.

1. Plus grand côté : $13^2 = 169$ .
2. Somme des carrés des deux autres côtés : $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ .
3. On constate que $13^2 = 5^2 + 12^2$ . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est bien rectangle.

Exercice 3 Écran 16/9ème et Diagonale (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Un écran de télévision rectangulaire a une largeur de $80\text{ cm}$ et une hauteur de $60\text{ cm}$ .
Quelle est la longueur de sa diagonale en centimètres ?

Un indice

La diagonale d'un rectangle forme un triangle rectangle avec la largeur et la hauteur. Applique Pythagore !

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Réponse attendue : 100

Le rectangle est formé de deux triangles rectangles. Soit $d$ la diagonale :
$d^2 = 80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10\,000$
$d = \sqrt{10\,000} = 100\text{ cm}$
La diagonale de l'écran mesure donc exactement $100\text{ cm}$ (soit $1\text{ m}$ ).

Exercice 4 Défi Seconde : Diagonale d'un cube

Palier 4 · défi

Soit un cube d'arête $a = 4\text{ cm}$ . On cherche la longueur de sa grande diagonale spatiale reliant deux sommets opposés.
Calculer le carré $D^2$ de cette diagonale, puis sa valeur exacte $D$ .

Un indice

Utilise Pythagore deux fois : d'abord dans une face carrée pour obtenir le carré $d^2$ de sa diagonale, puis dans le triangle rectangle formé par cette diagonale $d$ , une arête verticale et la grande diagonale $D$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 48

1. Diagonale d'une face carrée : $d^2 = 4^2 + 4^2 = 32$ .
2. Grande diagonale dans le triangle rectangle vertical : $D^2 = d^2 + 4^2 = 32 + 16 = 48$ .
Donc le carré de la diagonale vaut $48$ (et $D = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6,93\text{ cm}$ ).