Théorème de Thalès en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Identifier les configurations de Thalès : triangles emboîtés et papillon.
Écrire l'égalité des trois rapports de proportionnalité de Thalès.
Calculer une longueur inconnue à l'aide d'un produit en croix.
Démontrer que deux droites sont parallèles à l'aide de la réciproque de Thalès.
Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles à l'aide de la contraposée.

Le cours

1. Les deux configurations de Thalès

Soient les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part alignés. Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors d'après le théorème de Thalès :
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$

Configuration emboîtée : $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ (un triangle réduit à l'intérieur d'un grand triangle).
Configuration papillon (sablier) : $A$ est entre $M$ et $B$ , et entre $N$ et $C$ .

2. Réciproque du théorème de Thalès (Prouver le parallélisme)

Si les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si :
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$
Alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles (d'après la réciproque du théorème de Thalès).

3. Contraposée de Thalès (Prouver que les droites ne sont pas parallèles)

Si les points sont alignés dans le même ordre mais que :
$\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$
Alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

À retenir pour le brevet

Calculer une longueur (on sait que les droites sont parallèles) : théorème de Thalès, puis produit en croix.
Démontrer un parallélisme : réciproque (rapports égaux et points alignés dans le même ordre).
Démontrer un non-parallélisme : contraposée (rapports différents).
Le petit triangle se lit au numérateur, le grand au dénominateur, dans les trois rapports.

Automatismes :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{5}$ et $AC = 10$ : $AN$ ? $\to$ $4$ .
$\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{6}{8}$ sont-ils égaux ? $\to$ oui ( $3 \times 8 = 4 \times 6 = 24$ ).
Le théorème de la droite des milieux est le cas où le rapport vaut ? $\to$ $\dfrac{1}{2}$ .

Méthodes et exemples rédigés

Modèle de rédaction (brevet) : Calculer une longueur (Théorème direct)

Exemple

Sur la figure ci-dessous, les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont alignés avec $(MN) // (BC)$ . On donne $AB = 6\text{ cm}$ , $AM = 2\text{ cm}$ , $AC = 7{,}5\text{ cm}$ et $BC = 9\text{ cm}$ . Calculer $AN$ et $MN$ .

1. Énoncer les hypothèses indispensables :
- Les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont alignés.
- Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles : $(MN) // (BC)$ .
2. Citer le théorème : D'après le théorème de Thalès :
3. Poser l'égalité des trois rapports :
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$
4. Remplacer par les valeurs connues :
$\frac{2}{6} = \frac{AN}{7{,}5} = \frac{MN}{9}$
5. Calculer chaque longueur par produit en croix :
- Calcul de $AN$ : $AN = \frac{2 \times 7{,}5}{6} = \frac{15}{6} = 2{,}5\text{ cm}$ .
- Calcul de $MN$ : $MN = \frac{2 \times 9}{6} = \frac{18}{6} = 3\text{ cm}$ .

Modèle de rédaction Brevet : Réciproque de Thalès (Prouver le parallélisme)

Exemple

Soit les points A, M, B et A, N, C alignés dans cet ordre. AM = 3 cm, AB = 5 cm, AN = 4,5 cm, AC = 7,5 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Étape 1 (Alignement dans le même ordre) : Les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont alignés dans le même ordre.
Étape 2 (Calcul séparé des rapports) :
- $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{5} = 0{,}6$ .
- $\frac{AN}{AC} = \frac{4{,}5}{7{,}5} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} = 0{,}6$ .
Étape 3 (Conclusion) : On constate que $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ . D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Modèle de rédaction (brevet) : Thalès en configuration papillon

Exemple

Les droites $(MB)$ et $(NC)$ se coupent en $A$ , avec $A$ entre $M$ et $B$ , et entre $N$ et $C$ . On sait que $(MN) // (BC)$ , $AM = 4$ cm, $AB = 6$ cm, $AN = 3$ cm et $MN = 5$ cm. Calculer $AC$ et $BC$ .

1. Hypothèses : les points $M, A, B$ et $N, A, C$ sont alignés et $(MN) // (BC)$ .
2. Théorème : d'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , soit $\dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{AC} = \dfrac{5}{BC}$ .
3. Calcul de $AC$ : $AC = \dfrac{3 \times 6}{4} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5$ cm.
4. Calcul de $BC$ : $BC = \dfrac{5 \times 6}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$ cm.

Modèle de rédaction (brevet) : Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

Exemple

Les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont alignés dans cet ordre, avec $AM = 3$ cm, $AB = 8$ cm, $AN = 4$ cm et $AC = 10$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

1. Calcul séparé des rapports : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{10}$ .
2. Comparaison exacte (produits en croix) : $3 \times 10 = 30$ et $8 \times 4 = 32$ . Comme $30 \neq 32$ , $\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}$ (soit $0{,}375 \neq 0{,}4$ ).
3. Conclusion : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Pièges fréquents

Oublier la mention obligatoire « les points sont alignés dans le même ordre » lors de la réciproque !
Mélanger grand côté et petit côté dans les rapports : toujours faire $\frac{\text{petit}}{\text{grand}}$ partout ou $\frac{\text{grand}}{\text{petit}}$ partout.
Il faut obligatoirement utiliser la forme fractionnaire (ou le produit en croix) pour comparer deux rapports si la division ne tombe pas juste (les valeurs approchées arrondies sont strictement interdites pour prouver une égalité !).

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelles sont les deux conditions indispensables pour appliquer le théorème de Thalès direct ?

Deux droites sécantes et deux droites parallèles.

Quels sont les rapports de Thalès si

(MN) // (BC)

avec sécantes en

A

?

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$

À quoi sert la réciproque du théorème de Thalès ?

Elle sert à démontrer que deux droites sont parallèles.

Quelle phrase clé est indispensable dans la rédaction de la réciproque de Thalès ?

« Les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre ».

Que conclut-on si

\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}

?

D'après la contraposée de Thalès, les droites ne sont pas parallèles.

Configuration papillon :

(MN) // (BC)

,

AM = 2

,

AB = 5

,

BC = 10

. Que vaut

MN

?

$MN = \dfrac{2 \times 10}{5} = 4$ .

Comment comparer

\dfrac{7}{9}

et

\dfrac{9}{12}

sans arrondir ?

Par produits en croix : $7 \times 12 = 84$ et $9 \times 9 = 81$ , donc les rapports sont différents.

Exercices corrigés

Exercice 1 Produit en croix dans Thalès

Palier 1 · découverte

Résoudre l'égalité de proportions suivante pour trouver la valeur de $x$ :
$\frac{x}{6} = \frac{4}{3}$

Un indice

Applique le produit en croix : $x \times 3 = 6 \times 4$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 8

$x = \frac{6 \times 4}{3} = \frac{24}{3} = 8$

Exercice 2 Configuration Papillon

Palier 2 · application

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $O$ , et $(AD) \parallel (BC)$ .
On donne $OA = 6\text{ cm}, OB = 9\text{ cm}$ et $OD = 4\text{ cm}$ .
Calculer la longueur $OC$ (en cm).

Un indice

Les points $A, O, B$ d'une part et $D, O, C$ d'autre part sont alignés. Les rapports égaux sont $\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC} = \frac{AD}{BC}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 6

Les points $A, O, B$ d'une part et $D, O, C$ d'autre part sont alignés (les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $O$ ).
De plus, les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles ( $(AD) \parallel (BC)$ ).
D'après le théorème de Thalès en configuration papillon :
$\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC} = \frac{AD}{BC}$
En remplaçant par les valeurs données :
$\frac{6}{9} = \frac{4}{OC} \implies OC = \frac{9 \times 4}{6} = \frac{36}{6} = 6\text{ cm}$

Exercice 3 Réciproque de Thalès en configuration papillon (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $O$ . Les points $A, O, B$ d'une part et $C, O, D$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
On donne $OA = 4\text{ cm}$ , $OB = 6\text{ cm}$ , $OC = 6\text{ cm}$ et $OD = 9\text{ cm}$ .
Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont-elles parallèles ?

Oui, car $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{2}{3}$ et les points sont alignés dans le même ordre
Non, car $6 - 4 \neq 9 - 6$
On ne peut pas savoir sans connaître la longueur $AB$
Non, les droites sont perpendiculaires

Un indice

Calcule séparément les quotients $\frac{OA}{OB} = \frac{4}{6}$ et $\frac{OC}{OD} = \frac{6}{9}$ . Simplifie ces fractions.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Oui, car $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{2}{3}$ et les points sont alignés dans le même ordre

Excellent ! $\frac{OA}{OB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ et $\frac{OC}{OD} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(AC) \parallel (BD)$ .

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $O$ . Les points $A, O, B$ d'une part et $C, O, D$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
1. D'une part : $\frac{OA}{OB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
2. D'autre part : $\frac{OC}{OD} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
3. Comme $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$ et que les points sont alignés dans le même ordre, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.

Exercice 4 Défi Seconde : Thalès et équation avec $x$

Palier 4 · défi

Dans une configuration de Thalès avec $(MN) \parallel (BC)$ , on a $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ .
On pose $AM = x$ , $MB = 4$ (donc $AB = x + 4$ ), $AN = 6$ et $AC = 14$ .
Trouver la valeur exacte de $x$ .

Un indice

Les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés. Écris l'équation : $\frac{x}{x + 4} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 3

Les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés.
De plus, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ( $(MN) \parallel (BC)$ ).
D'après le théorème de Thalès :
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$
1. Équation de proportion avec $AM = x$ et $AB = x + 4$ :
$\frac{x}{x+4} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$
2. Produit en croix :
$7x = 3(x + 4) \implies 7x = 3x + 12 \implies 4x = 12 \implies x = 3\text{ cm}$

Objectifs du chapitre

Le cours

1. Les deux configurations de Thalès

2. Réciproque du théorème de Thalès (Prouver le parallélisme)

3. Contraposée de Thalès (Prouver que les droites ne sont pas parallèles)

À retenir pour le brevet

Méthodes et exemples rédigés

Modèle de rédaction (brevet) : Calculer une longueur (Théorème direct)

Modèle de rédaction Brevet : Réciproque de Thalès (Prouver le parallélisme)

Modèle de rédaction (brevet) : Thalès en configuration papillon

Modèle de rédaction (brevet) : Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

Pièges fréquents

Questions de révision

Exercices corrigés

Exercice 1 Produit en croix dans Thalès

Exercice 2 Configuration Papillon

Exercice 3 Réciproque de Thalès en configuration papillon (Brevet)

Exercice 4 Défi Seconde : Thalès et équation avec xxx

Exercice 4 Défi Seconde : Thalès et équation avec $x$