3e · Espace et Géométrie · G2 bis

Cours et exercices corrigés de 3e : Synthèse : Pythagore, Thalès ou trigonométrie ?

Reconnaître la bonne configuration pour choisir entre Pythagore, Thalès, leurs réciproques et la trigonométrie, puis enchaîner les outils dans un problème.

🎯 S'entraîner sur ce chapitre ⏱️ Rituel flash 🗂️ Flashcards

Objectifs du chapitre

Lire une figure ou un énoncé et repérer les indices décisifs : angle droit, droites parallèles, angle aigu, nombre de longueurs connues.
Choisir entre le théorème de Pythagore, sa réciproque, le théorème de Thalès, sa réciproque et la trigonométrie.
Dans un problème en plusieurs étapes, trouver dans quel ordre enchaîner les outils.

Le cours

1. Trois questions à se poser avant de calculer

Ce chapitre ne refait pas les cours de Pythagore, de Thalès et de trigonométrie : il apprend à choisir le bon outil. Avant tout calcul, pose-toi trois questions :

Que cherche-t-on ? Une longueur, un angle, ou une preuve (« le triangle est-il rectangle ? », « les droites sont-elles parallèles ? »).
Y a-t-il un angle droit connu ? Codage sur la figure, « rectangle en… », mur vertical et sol horizontal, directions nord et est, rectangle, carré…
Y a-t-il des droites parallèles connues ? « $(MN) \parallel (BC)$ », rayons du soleil, étagères, montants verticaux…

2. Le tableau de décision

Ce que l'on voit	Ce que l'on cherche	Outil
Triangle rectangle + 2 côtés connus	le 3ᵉ côté	Théorème de Pythagore
Triangle rectangle + 1 angle aigu + 1 côté	un autre côté	Trigonométrie (cos, sin ou tan)
Triangle rectangle + 2 côtés connus	un angle aigu	Trigonométrie (Arccos, Arcsin ou Arctan)
Deux droites parallèles coupées par deux sécantes	une longueur	Théorème de Thalès
Les trois côtés d'un triangle	savoir s'il est rectangle	Réciproque (ou contraposée) de Pythagore
Points alignés sur deux sécantes + 4 longueurs	savoir si deux droites sont parallèles	Réciproque (ou contraposée) de Thalès

3. Les phrases-indices de l'énoncé

« est-il rectangle ? », « l'angle est-il droit ? », « le mur est-il perpendiculaire au sol ? » → réciproque de Pythagore.
« sont-elles parallèles ? » → réciproque de Thalès.
« sachant que $(MN) \parallel (BC)$ », « les rayons sont parallèles » → Thalès.
« angle de $35^\circ$ », « calculer la mesure de l'angle », « arrondir au degré » → trigonométrie.
« triangle rectangle » et aucun angle aigu dans les données ni dans la question → Pythagore.

Un énoncé qui donne le parallélisme ou l'angle droit appelle le théorème direct ; un énoncé qui le demande appelle la réciproque.

4. Problèmes en plusieurs étapes : partir de la fin

Au brevet, un même exercice enchaîne souvent deux outils. Pour trouver l'ordre, pars de ce que l'on cherche :
1. Quel outil donnerait directement la réponse ?
2. Quelle donnée lui manque ? On la calcule d'abord, avec un autre outil.

Enchaînements fréquents : Pythagore puis Thalès (calculer $BC$ avant d'écrire les rapports) ; Thalès puis Pythagore ; trigonométrie puis Pythagore (une hauteur, puis une distance) ; réciproque de Pythagore puis trigonométrie (prouver que le triangle est rectangle avant d'utiliser cos, sin ou tan).

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Choisir l'outil en trois questions

Exemple

Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$ , $EF = 6\text{ cm}$ et $EG = 10\text{ cm}$ . On cherche la mesure de l'angle $\widehat{FEG}$ .

Que cherche-t-on ? Un angle : Pythagore et Thalès ne donnent que des longueurs.
Angle droit ? Oui, en $F$ : la trigonométrie s'applique.
Quel rapport ? Pour l'angle en $E$ : $[EF]$ est le côté adjacent, $[EG]$ l'hypoténuse, donc le cosinus : $\cos(\widehat{FEG}) = \frac{6}{10}$ , puis Arccos à la calculatrice.

Méthode : Ordonner deux outils (type brevet)

Exemple

$ABC$ est rectangle en $A$ , $AB = 6$ , $AC = 8$ ; $M \in [AB]$ avec $AM = 3$ , $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$ . Calculer $MN$ .

Outil final : $(MN) \parallel (BC)$ → Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$ .
Donnée manquante : $BC$ n'est pas connu.
Étape 1 (Pythagore dans $ABC$ ) : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100$ , donc $BC = 10$ .
Étape 2 (Thalès) : $MN = \frac{3 \times 10}{6} = 5$ .

Pièges fréquents

Utiliser Pythagore pour calculer un angle : le théorème ne relie que des longueurs.
Utiliser Pythagore avec un seul côté connu et un angle : il faut la trigonométrie.
Utiliser la trigonométrie dans un triangle qui n'est pas rectangle : prouver d'abord l'angle droit (réciproque de Pythagore) ou tracer une hauteur.
Écrire « d'après le théorème de Thalès » alors que le parallélisme n'est pas donné : c'est la réciproque qu'il faut, si c'est la question.
Confondre « le triangle est rectangle » (donné → Pythagore) et « le triangle est-il rectangle ? » (à prouver → réciproque).

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Triangle rectangle, deux côtés connus, on cherche le troisième. Quel outil ?

Le théorème de Pythagore.

Triangle rectangle, un angle aigu et un côté connus, on cherche un autre côté. Quel outil ?

La trigonométrie : cosinus, sinus ou tangente selon les côtés en jeu.

Triangle rectangle, deux côtés connus, on cherche un angle. Quel outil ?

La trigonométrie, avec Arccos, Arcsin ou Arctan à la calculatrice.

On sait que

(MN) \parallel (BC)

et on cherche une longueur. Quel outil ?

Le théorème de Thalès.

On connaît les trois côtés d'un triangle et on demande s'il est rectangle. Quel outil ?

La réciproque (ou la contraposée) de Pythagore.

On demande si deux droites sont parallèles, avec des points alignés sur deux sécantes. Quel outil ?

La réciproque (ou la contraposée) de Thalès.

Dans un problème, l'outil final a besoin d'une longueur inconnue. Que faire ?

Calculer d'abord cette longueur avec un autre outil, puis appliquer l'outil final.

Exercices corrigés

Exercice 1 Quel outil pour cette longueur ?

Palier 1 · découverte

Le triangle $KLM$ est rectangle en $K$ , avec $\widehat{KLM} = 40^\circ$ et $KL = 7\text{ cm}$ . On veut calculer $KM$ .
Quel outil permet de répondre ?

La trigonométrie (cosinus, sinus ou tangente)
Le théorème de Pythagore
Le théorème de Thalès
La réciproque du théorème de Pythagore

Un indice

Un angle aigu est-il donné ? Combien de côtés connaît-on ?

Voir la correction

Bonne réponse : A. La trigonométrie (cosinus, sinus ou tangente)

Exact : le triangle est rectangle et un angle aigu est donné, avec un seul côté connu. Ici, ce sera la tangente de $\widehat{KLM}$ .

Le triangle est rectangle et on connaît un angle aigu et un seul côté : c'est la trigonométrie. Pour l'angle en $L$ , $[KL]$ est adjacent et $[KM]$ opposé : $\tan(40^\circ) = \frac{KM}{7}$ .

Exercice 2 Une question de parallélisme

Palier 2 · application

Les points $A$ , $E$ , $B$ d'une part et $A$ , $F$ , $C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre, avec $AE = 3$ , $AB = 7{,}5$ , $AF = 4$ et $AC = 10$ (en cm). On se demande si les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Quel outil permet de répondre ?

La réciproque du théorème de Thalès
Le théorème de Thalès
La réciproque du théorème de Pythagore
La trigonométrie (cosinus, sinus ou tangente)

Un indice

Le parallélisme est-il donné, ou faut-il le démontrer ?

Voir la correction

Bonne réponse : A. La réciproque du théorème de Thalès

Exact : on veut prouver un parallélisme, on compare $\frac{AE}{AB}$ et $\frac{AF}{AC}$ .

On veut démontrer un parallélisme : réciproque de Thalès. $\frac{AE}{AB} = \frac{3}{7{,}5} = 0{,}4$ et $\frac{AF}{AC} = \frac{4}{10} = 0{,}4$ : les points étant alignés dans le même ordre, $(EF) \parallel (BC)$ .

Exercice 3 Calculer une longueur

Palier 3 · approfondissement

Une échelle de $4\text{ m}$ est appuyée contre un mur vertical ; elle forme avec le sol horizontal un angle de $72^\circ$ .
À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle (arrondie au centimètre) ?

$1{,}24\text{ m}$
$3{,}80\text{ m}$
$1{,}30\text{ m}$
$3{,}87\text{ m}$

Un indice

Mur et sol forment un angle droit ; un angle aigu est donné et un seul côté est connu.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $1{,}24\text{ m}$

Exact : la distance est le côté adjacent à l'angle de $72^\circ$ et l'échelle l'hypoténuse : $4 \times \cos(72^\circ) \approx 1{,}24$ .

Le mur est perpendiculaire au sol : triangle rectangle. Un angle aigu et un seul côté sont connus : trigonométrie. Pour l'angle de $72^\circ$ , la distance $d$ est le côté adjacent et l'échelle l'hypoténuse :
$d = 4 \times \cos(72^\circ) \approx 1{,}24\text{ m}$

Exercice 4 Problème en deux étapes

Palier 4 · défi

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ avec $AB = 9\text{ cm}$ et $AC = 12\text{ cm}$ . $M$ est le point de $[AB]$ tel que $AM = 3\text{ cm}$ ; la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$ .
Combien mesure $MN$ ?

$5\text{ cm}$
$4\text{ cm}$
$15\text{ cm}$
$7{,}5\text{ cm}$

Un indice

Pour utiliser les rapports égaux avec $MN$ , quelle longueur du grand triangle te manque-t-il ?

Voir la correction

Bonne réponse : A. $5\text{ cm}$

Exact : Pythagore donne $BC = 15$ , puis Thalès donne $MN = \frac{3 \times 15}{9} = 5$ .

Étape 1 (Pythagore, $ABC$ rectangle en $A$ ) : $BC^2 = 9^2 + 12^2 = 225$ , donc $BC = 15\text{ cm}$ .
Étape 2 (Thalès, $(MN) \parallel (BC)$ ) : $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$ , donc $MN = \frac{3 \times 15}{9} = 5\text{ cm}$ .