Géométrie dans l'espace en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Reconnaître et caractériser les solides usuels (pavé droit, prisme, cylindre, pyramide, cône).
Déterminer la nature géométrique de la section plane d'un pavé droit par un plan.
Déterminer la section plane d'un cylindre de révolution par un plan.
Déterminer la section plane d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base.
Calculer des volumes de solides composés et utiliser les patrons.

Le cours

1. Section plane d'un pavé droit (parallélépipède rectangle)

Par un plan parallèle à une face : la section est un rectangle de mêmes dimensions que cette face (ou un carré si la face est carrée).
Par un plan parallèle à une arête : la section est un rectangle.

2. Section plane d'un cylindre de révolution

Par un plan perpendiculaire à l'axe (parallèle aux bases) : la section est un cercle de même rayon que les bases.
Par un plan parallèle à l'axe : la section est un rectangle.

3. Section d'une pyramide ou d'un cône parallèle à la base

La section d'une pyramide (ou d'un cône) par un plan parallèle à sa base est une réduction de la base :

Le rapport de réduction est $k = \frac{h'}{h} = \frac{\text{hauteur du petit solide}}{\text{hauteur du grand solide}}$ .
Le petit cône (ou petite pyramide) au sommet est une réduction du solide initial de rapport $k$ :

- Rayon de la section : $r' = k \times r$
- Aire de la section : $\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$
- Volume du petit solide : $\mathcal{V}' = k^3 \times \mathcal{V}$ .

4. Récapitulatif des formules de volumes usuelles

Cube : $V = c^3$ | Pavé droit : $V = L \times l \times h$
Prisme et Cylindre : $V = \mathcal{B} \times h$ (Cylindre : $\pi r^2 h$ )
Pyramide et Cône : $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ (Cône : $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ )
Boule : $V = \frac{4}{3}\pi R^3$

À retenir pour le brevet

Pavé : section parallèle à une face $\to$ rectangle identique à la face ; parallèle à une arête $\to$ rectangle.
Cylindre : perpendiculaire à l'axe $\to$ disque de même rayon ; parallèle à l'axe $\to$ rectangle.
Pyramide, cône coupés parallèlement à la base : réduction de rapport $k = \dfrac{h'}{h}$ (aires $\times k^2$ , volumes $\times k^3$ ).
Volumes : prisme et cylindre $\mathcal{B} \times h$ ; pyramide et cône $\dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$ ; boule $\dfrac{4}{3}\pi R^3$ .

Automatismes :

Volume d'un cylindre de rayon $1$ et de hauteur $3$ ? $\to$ $3\pi$ .
Cône coupé au tiers de sa hauteur depuis le sommet ( $k = \dfrac{1}{3}$ ) : volume du petit cône ? $\to$ $\dfrac{1}{27}$ du grand.
$1$ m³ $=$ ? L $\to$ $1\,000$ L.

Méthodes et exemples rédigés

Modèle de rédaction (brevet) : Calculer le volume d'un cône tronqué (tronc de cône)

Exemple

Un cône de révolution de sommet $S$ , de hauteur $h = 12\text{ cm}$ et de rayon de base $R = 4\text{ cm}$ est coupé à mi-hauteur ( $h' = 6\text{ cm}$ ) par un plan parallèle à la base. Calculer la valeur exacte puis arrondie au $\text{cm}^3$ près du volume du tronc de cône restant.

1. Calculer le coefficient de réduction $k$ :
Le plan coupe le cône parallèlement à la base, donc le petit cône est une réduction du grand cône de rapport :
$k = \frac{h'}{h} = \frac{6}{12} = 0{,}5 = \frac{1}{2}$
2. Calculer le volume du grand cône initial :
$V_{\text{grand}} = \frac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h = \frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 12 = 64\pi \approx 201{,}1\text{ cm}^3$
3. Calculer le volume du petit cône sommital :
Dans un agrandissement/réduction de rapport $k$ , les volumes sont multipliés par $k^3$ :
$V_{\text{petit}} = k^3 \times V_{\text{grand}} = 0{,}5^3 \times 64\pi = \frac{1}{8} \times 64\pi = 8\pi \approx 25{,}1\text{ cm}^3$
4. En déduire le volume du tronc de cône par soustraction :
$V_{\text{tronc}} = V_{\text{grand}} - V_{\text{petit}} = 64\pi - 8\pi = 56\pi\text{ cm}^3$
Soit environ $176\text{ cm}^3$ au $\text{cm}^3$ près.

Modèle de rédaction (brevet) : Volume d'un solide composé

Exemple

Un silo est formé d'un cylindre de rayon $2$ m et de hauteur $5$ m, surmonté d'un cône de même base et de hauteur $1{,}5$ m. Calculer son volume (valeur exacte, puis arrondi au m³).

1. Cylindre : $V_1 = \pi r^2 h = \pi \times 2^2 \times 5 = 20\pi$ m³.
2. Cône : $V_2 = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{\pi \times 4 \times 1{,}5}{3} = 2\pi$ m³.
3. Total : $V = 20\pi + 2\pi = 22\pi$ m³ $\approx 69$ m³.
4. Interprétation : $1$ m³ $= 1\,000$ L, le silo contient environ $69\,000$ L.

Méthode : Section d'un pavé droit et Pythagore

Exemple

$ABCDEFGH$ est un pavé droit ( $ABCD$ base, $E$ au-dessus de $A$ , $G$ au-dessus de $C$ ) avec $AB = 4$ cm, $BC = 3$ cm et $AE = 10$ cm. On coupe le pavé par le plan passant par $A$ , $C$ , $G$ et $E$ . Quelle est la nature de la section ? Calculer son aire.

1. Nature : le plan contient l'arête $[AE]$ et est parallèle à l'arête $[CG]$ : la section $ACGE$ est un rectangle (ses côtés $[AE]$ et $[CG]$ sont verticaux, $[AC]$ et $[EG]$ horizontaux).
2. Calcul de $AC$ : dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ (face du pavé), d'après le théorème de Pythagore, $AC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$ , donc $AC = 5$ cm.
3. Aire : $\mathcal{A} = AC \times AE = 5 \times 10 = 50$ cm².

Pièges fréquents

Penser que la section d'un cylindre par un plan parallèle à l'axe est un cercle : c'est un rectangle !
Dans un tronc de cône, ne pas diviser le volume par 2 sous prétexte que le plan est à mi-hauteur : à mi-hauteur ( $k = 0{,}5$ ), le petit cône occupe $\frac{1}{8}$ du volume total !
Oublier de convertir : $1$ dm³ $= 1$ L, mais $1$ m³ $= 1\,000$ L et $1$ cm³ $= 1$ mL.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face ?

C'est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.

Quelle est la section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe ?

C'est un cercle de même rayon que la base.

Quelle est la section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe ?

C'est un rectangle.

Quelle est la nature de la section d'un cône par un plan parallèle à sa base ?

C'est un cercle, réduction du cercle de base.

Si une pyramide est coupée à mi-hauteur par un plan parallèle à sa base, que vaut le volume de la petite pyramide ?

$\frac{1}{8}$ du volume initial (car $k = 0{,}5$ et $k^3 = 0{,}125 = \frac{1}{8}$ ).

Volume d'un prisme droit de base un triangle d'aire 6 cm² et de hauteur 10 cm ?

$V = \mathcal{B} \times h = 6 \times 10 = 60$ cm³.

Exercices corrigés

Exercice 1 Volume d'un pavé droit

Palier 1 · découverte

Calculer le volume d'un pavé droit de longueur $8\text{ cm}$ , largeur $5\text{ cm}$ et hauteur $3\text{ cm}$ (en $\text{cm}^3$ ).

Un indice

$V = L \times l \times h$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 120

$V = 8 \times 5 \times 3 = 120\text{ cm}^3$

Exercice 2 Volume d'une pyramide

Palier 2 · application

Une pyramide a une base carrée de côté $6\text{ cm}$ et une hauteur de $10\text{ cm}$ . Quel est son volume en $\text{cm}^3$ ?

Un indice

$V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times h$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 120

$V = \frac{1}{3} \times (6 \times 6) \times 10 = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 12 \times 10 = 120\text{ cm}^3$

Exercice 3 Section plane d'un cylindre (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe de révolution est un :

Rectangle
Disque
Triangle
Trapèze

Un indice

Imagine couper une boîte de conserve verticalement.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Rectangle

Exact ! Couper un cylindre parallèlement à son axe donne toujours un rectangle.

La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe de révolution est un rectangle (ou un segment si le plan est tangent).

Exercice 4 Défi Seconde : Cône tronqué

Palier 4 · défi

Un cône de révolution de volume $80\text{ cm}^3$ est coupé à mi-hauteur ( $k = 0,5$ ) par un plan parallèle à sa base. Quel est le volume du petit cône supérieur en $\text{cm}^3$ ?

Un indice

Le volume est multiplié par $k^3$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 10

$V' = k^3 \times V = (0,5)^3 \times 80 = \frac{1}{8} \times 80 = 10\text{ cm}^3$