3e · Espace et Géométrie · G6

Cours et exercices corrigés de 3e : Rotations et Transformations du plan

Centre, angle et sens de rotation (horaire/anti-horaire), frises, pavages et conservation des longueurs et angles.

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Objectifs du chapitre

Définir une rotation par son centre $O$ , son angle $\theta$ et son sens de parcours.
Distinguer le sens direct / anti-horaire (sens inverse des aiguilles d'une montre, signe $+$ ) du sens horaire (signe $-$ ).
Reconnaître qu'une rotation de $180^\circ$ est une symétrie centrale.
Construire l'image d'un point et d'une figure par rotation.
Appliquer les propriétés de conservation : longueurs, angles, parallélisme et aires.

Le cours

1. Définition géométrique d'une rotation

La rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ transforme tout point $M$ distinct de $O$ en un point $M'$ tel que :

$OM' = OM$ (les deux points sont à la même distance du centre $O$ ).
$\widehat{MOM'} = \alpha$ .
Le point $M'$ est orienté selon le sens choisi (horaire ou anti-horaire).
Le centre $O$ est le seul point fixe : son image est lui-même.

2. Conventions d'orientation

Sens direct / anti-horaire : sens inverse des aiguilles d'une montre (convention positive $+$ , ex: $+60^\circ$ ).
Sens horaire : sens des aiguilles d'une montre (convention négative $-$ , ex: $-60^\circ$ ).

3. Lien fondamental avec la symétrie centrale

Une rotation d'angle $180^\circ$ est exactement une symétrie centrale de centre $O$ :
$M, O, M' \text{ sont alignés et } O \text{ est le milieu de } [MM']$

4. Propriétés de conservation

Comme toutes les isométries du plan, la rotation conserve :

Les longueurs ( $M'N' = MN$ )
La mesure des angles géométriques
Les aires et périmètres (les figures sont superposables)
L'alignement et le parallélisme.

À retenir pour le brevet

Rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ (avec un sens) : $OM' = OM$ et $\widehat{MOM'} = \alpha$ .
Sens direct = sens inverse des aiguilles d'une montre.
Rotation de $180^\circ$ = symétrie centrale.
Conserve longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme.
Polygone régulier à $n$ côtés : la rotation de centre le centre du polygone et d'angle $\dfrac{360^\circ}{n}$ envoie chaque sommet sur le suivant.

Automatismes :

Angle au centre d'un octogone régulier ? $\to$ $45^\circ$ .
Image d'un point par une rotation de $360^\circ$ ? $\to$ le point lui-même.
Une rotation peut-elle changer la longueur d'un segment ? $\to$ non.

Méthodes et exemples rédigés

Modèle de rédaction (brevet) : Construire l'image d'une figure par une rotation

Exemple

Sur la figure ci-dessous, construire l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$ dans le sens anti-horaire (sens direct).

1. Construire l'image de chaque sommet indépendamment :
Pour chaque sommet du triangle initial ( $A$ , $B$ et $C$ ), on applique la règle de rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$ dans le sens anti-horaire.
2. Tracer les demi-droites au rapporteur (ou à l'équerre pour 90°) :
- Aligner la base du rapporteur sur $[OA]$ et marquer un angle de $90^\circ$ vers le haut (sens direct).
- Répéter pour $[OB]$ et $[OC]$ .
3. Reporter les longueurs au compas :
Piquer le compas en $O$ , prendre l'écartement jusqu'à $A$ et tracer un arc de cercle pour placer $A'$ tel que $OA' = OA$ .
Faire de même pour $B'$ ( $OB' = OB$ ) et $C'$ ( $OC' = OC$ ).
4. Tracer la figure image :
Relier les points $A', B', C'$ à la règle. Le triangle $A'B'C'$ est exactement superposable au triangle $ABC$ (conservation des longueurs et des aires).

Modèle de rédaction (brevet) : Identifier une rotation dans un polygone régulier ou pavage

Exemple

On considère un hexagone régulier $ABCDEF$ de centre $O$ orienté dans le sens des aiguilles d'une montre ( $A \to B \to C \to D \to E \to F$ ). Déterminer l'image du triangle $OAB$ par la rotation de centre $O$ , d'angle $120^\circ$ dans le sens horaire.

1. Calculer l'angle au centre entre deux sommets consécutifs :
Un tour complet mesure $360^\circ$ . L'hexagone régulier comporte 6 côtés égaux, donc l'angle au centre entre deux sommets voisins vaut :
$\alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$
2. Déterminer le nombre de crans de rotation :
L'angle de rotation est de $120^\circ$ , ce qui correspond à :
$\frac{120^\circ}{60^\circ} = 2\text{ crans de sommets}$
3. Appliquer le sens de rotation (horaire) :
En partant de $A$ et $B$ et en tournant de 2 crans dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire) :
- Le sommet $A$ a pour image $C$ .
- Le sommet $B$ a pour image $D$ .
- Le centre $O$ est le point fixe, son image est lui-même.
4. Conclure :
L'image du triangle $OAB$ par cette rotation est le triangle $OCD$ .

Pièges fréquents

Tourner dans le mauvais sens : toujours vérifier s'il s'agit du sens horaire ou anti-horaire !
Oublier de reporter la distance au compas : $OM'$ doit impérativement être égal à $OM$ .
Utiliser le rapporteur sans partir du centre : l'angle $\widehat{MOM'}$ a pour sommet le centre $O$ de la rotation.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quels sont les trois éléments qui définissent une rotation ?

Un centre, un angle et un sens de rotation (horaire ou anti-horaire).

À quoi correspond une rotation d'angle 180° ?

À une symétrie centrale.

Quel est le sens conventionnel dit « positif » ou « direct » ?

Le sens anti-horaire (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Quel est le seul point invariable par une rotation de centre O ?

Le centre O lui-même (son image est lui-même).

Une rotation modifie-t-elle l'aire d'une figure ?

Non, la rotation conserve rigoureusement les aires et les longueurs (c'est une isométrie).

Dans un pentagone régulier de centre

O

, quel est l'angle de la rotation de centre

O

qui envoie chaque sommet sur le suivant ?

$\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Angle de rotation d'un polygone régulier

Palier 1 · découverte

On fait tourner un hexagone régulier (6 côtés) autour de son centre pour qu'un sommet prenne la place du sommet suivant. De quel angle au centre a-t-on tourné ?

Un indice

Un tour complet vaut $360^\circ$ . Divise par le nombre de sommets.

Voir la correction

Réponse attendue : 60

$\alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$

Exercice 2 Sens trigonométrique et horaire

Palier 2 · application

Par définition, le sens anti-horaire (ou direct) correspond au :

Sens inverse des aiguilles d'une montre
Sens des aiguilles d'une montre
Sens vers le bas uniquement
Sens aléatoire

Un indice

Le préfixe « anti- » signifie contre ou inverse.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Sens inverse des aiguilles d'une montre

Exact ! Anti-horaire signifie le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Le sens anti-horaire est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Exercice 3 Conservation par rotation (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Un triangle d'aire $18\text{ cm}^2$ subit une rotation de $75^\circ$ . Quelle est l'aire du triangle image en $\text{cm}^2$ ?

Un indice

La rotation est une isométrie : elle conserve les longueurs, les angles et les aires !

Voir la correction

Réponse attendue : 18

La rotation conserve les aires. L'aire du triangle image est donc exactement égale à $18\text{ cm}^2$ .

Exercice 4 Défi Seconde : Rotation de 180°

Palier 4 · défi

Une rotation d'angle $180^\circ$ autour d'un centre $O$ est exactement équivalente à une :

Symétrie centrale de centre $O$
Symétrie axiale
Translation
Homothétie de rapport $+2$

Un indice

Un angle de 180° correspond à un demi-tour.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Symétrie centrale de centre $O$

Parfait ! Faire un demi-tour ( $180^\circ$ ) autour de $O$ revient exactement à effectuer une symétrie centrale de centre $O$ .

Une rotation de $180^\circ$ de centre $O$ est identique à la symétrie centrale de centre $O$ .