Triangles semblables en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Définir des triangles semblables comme ayant des angles deux à deux de même mesure.
Connaître la propriété équivalente : longueurs des côtés deux à deux proportionnelles.
Démontrer que deux triangles sont semblables à partir de deux paires d'angles égaux.
Associer sommets homologues et côtés homologues pour écrire les égalités de rapports.
Calculer des longueurs inconnues à l'aide du coefficient d'agrandissement ou de réduction.

Le cours

1. Définition des triangles semblables

Deux triangles sont dits semblables s'ils ont des angles deux à deux de même mesure.
Propriété essentielle : Comme la somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ , il suffit que deux triangles aient deux paires d'angles de même mesure pour qu'ils soient semblables !

2. Côtés homologues et proportionnalité

Deux triangles sont semblables si et seulement si les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles deux à deux :
$\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = k$

Les côtés opposés à des angles égaux sont appelés des côtés homologues (repérés par la même couleur ci-dessous).
$k$ est le rapport de similitude (agrandissement si $k > 1$ , réduction si $k < 1$ ).

3. Lien avec la configuration de Thalès

Toute configuration de Thalès (triangles emboîtés ou papillon) est constituée de deux triangles semblables :

Les droites parallèles forment des angles correspondants (ou alternes-internes) de même mesure.
Les triangles ayant les mêmes angles, ils sont semblables et leurs côtés sont proportionnels d'après le théorème de Thalès.

4. Impact sur les aires

Si deux triangles sont semblables avec un rapport de similitude $k$ sur les longueurs, alors l'aire du triangle agrandi vaut :
$\text{Aire}' = k^2 \times \text{Aire}$

À retenir pour le brevet

Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs angles deux à deux égaux : deux paires d'angles égaux suffisent.
Équivalent : leurs côtés sont deux à deux proportionnels.
Côtés homologues = côtés opposés aux angles égaux ; on les associe avant d'écrire les rapports.
Rapport $k$ : longueurs $\times k$ , aires $\times k^2$ .

Automatismes :

Triangle de côtés $3$ , $4$ , $5$ et triangle de côtés $6$ , $8$ , $10$ : semblables ? $\to$ oui, $k = 2$ .
Deux triangles ont des angles de $40^\circ$ et $80^\circ$ : sont-ils semblables ? $\to$ oui (le 3e angle vaut $60^\circ$ dans les deux).
Rapport $k = 3$ et aire $4$ cm² : aire de l'agrandissement ? $\to$ $36$ cm².

Méthodes et exemples rédigés

Modèle de rédaction (brevet) : Démontrer la similitude par les angles et calculer une longueur

Exemple

Soit un triangle $ABC$ avec $\widehat{A} = 50^\circ$ , $\widehat{B} = 70^\circ$ , $AB = 6\text{ cm}$ et $AC \approx 6{,}5\text{ cm}$ (arrondi au mm). Soit un triangle $DEF$ avec $\widehat{D} = 50^\circ$ , $\widehat{F} = 60^\circ$ et $DE = 9\text{ cm}$ . Démontrer que ces triangles sont semblables, calculer le rapport d'agrandissement puis une valeur approchée de $DF$ .

1. Calculer la mesure du 3e angle : dans le triangle $ABC$ , la somme des angles vaut $180^\circ$ :
$\widehat{C} = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ$
2. Démontrer que les triangles sont semblables : $\widehat{A} = \widehat{D} = 50^\circ$ et $\widehat{C} = \widehat{F} = 60^\circ$ . Les triangles $ABC$ et $DEF$ ont deux paires d'angles de même mesure : ils sont semblables. Les sommets homologues sont $A \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow F$ , et donc $B \leftrightarrow E$ (angles de $70^\circ$ ).
3. Côtés homologues : ce sont les côtés opposés aux angles égaux : $[AB]$ et $[DE]$ (opposés aux angles de $60^\circ$ ), $[AC]$ et $[DF]$ (opposés aux angles de $70^\circ$ ), $[BC]$ et $[EF]$ . Donc :
$\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{EF}{BC}$
4. Rapport d'agrandissement : $k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ .
5. Calcul de $DF$ : $DF = k \times AC \approx 1{,}5 \times 6{,}5 = 9{,}75$ , soit $DF \approx 9{,}8$ cm. (Les aires sont multipliées par $k^2 = 2{,}25$ .)

Modèle de rédaction (brevet) : Démontrer que deux triangles sont semblables grâce aux côtés

Exemple

Soit un triangle $ABC$ avec $AB = 4\text{ cm}$ , $BC = 6\text{ cm}$ et $AC = 7\text{ cm}$ . Soit un triangle $RST$ avec $RS = 6\text{ cm}$ , $ST = 9\text{ cm}$ et $RT = 10{,}5\text{ cm}$ . Démontrer que ces deux triangles sont semblables.

1. Classer les longueurs de chaque triangle par ordre croissant :
- Dans le triangle $ABC$ : $AB = 4\text{ cm} < BC = 6\text{ cm} < AC = 7\text{ cm}$ .
- Dans le triangle $RST$ : $RS = 6\text{ cm} < ST = 9\text{ cm} < RT = 10{,}5\text{ cm}$ .
2. Calculer séparément les trois rapports des côtés homologues :
- Plus petits côtés : $\frac{RS}{AB} = \frac{6}{4} = 1{,}5$ .
- Côtés intermédiaires : $\frac{ST}{BC} = \frac{9}{6} = 1{,}5$ .
- Plus grands côtés : $\frac{RT}{AC} = \frac{10{,}5}{7} = 1{,}5$ .
3. Constater l'égalité des trois quotients :
$\frac{RS}{AB} = \frac{ST}{BC} = \frac{RT}{AC} = 1{,}5$
4. Conclure :
Les longueurs des côtés sont proportionnelles deux à deux, donc les triangles $ABC$ et $RST$ sont semblables (avec un coefficient d'agrandissement $k = 1{,}5$ ).

Pièges fréquents

Associer les mauvais côtés dans les rapports de proportionnalité : il faut impérativement repérer les côtés face aux mêmes angles !
Ne pas confondre triangles égaux (isométriques, toutes longueurs égales) et triangles semblables (même forme, côtés proportionnels mais pas forcément égaux).
Ranger les côtés par ordre croissant ne marche que pour comparer des longueurs ; pour des angles connus, il faut associer chaque côté à l'angle qui lui fait face.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Qu'est-ce que deux triangles semblables ?

Deux triangles qui ont des angles deux à deux de même mesure.

Combien d'angles égaux suffisent pour prouver que deux triangles sont semblables ?

Deux angles égaux suffisent (car le troisième est automatiquement égal à $180^\circ - \text{somme des deux autres}$ ).

Quelle est la conséquence sur les côtés de deux triangles semblables ?

Les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnelles.

Deux triangles superposables (isométriques) sont-ils semblables ?

Oui, ce sont des triangles semblables particuliers de rapport $k = 1$ .

Si un triangle est semblable à un autre avec un rapport k = 3, que devient son aire ?

Son aire est multipliée par $k^2 = 3^2 = 9$ .

ABC

et

DEF

sont semblables avec

\dfrac{DE}{AB} = 0{,}5

. L'aire de

ABC

vaut 20 cm². Aire de

DEF

?

$0{,}5^2 \times 20 = 0{,}25 \times 20 = 5$ cm².

Exercices corrigés

Exercice 1 Angles de triangles semblables

Palier 1 · découverte

Deux triangles ont des angles de même mesure deux à deux. Ces triangles sont dits :

Semblables
Égaux
Isocèles
Rectangles

Un indice

Ils ont la même forme mais pas forcément la même taille.

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Bonne réponse : A. Semblables

Exact ! Par définition, deux triangles ayant leurs angles deux à deux de même mesure sont semblables.

Deux triangles ayant leurs angles deux à deux de même mesure sont des triangles semblables.

Exercice 2 Somme des angles et similitude

Palier 2 · application

Un triangle 1 a pour angles $45^\circ$ et $65^\circ$ . Un triangle 2 a pour angles $65^\circ$ et $70^\circ$ . Sont-ils semblables ?

Oui, car le troisième angle du triangle 1 vaut $180 - (45+65) = 70^\circ$
Non, car $45 \neq 70$
On ne peut pas savoir sans les longueurs des côtés
Non, car la somme des angles est différente

Un indice

Calcule le 3ème angle du premier triangle en sachant que la somme vaut $180^\circ$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. Oui, car le troisième angle du triangle 1 vaut $180 - (45+65) = 70^\circ$

Très bien ! Le troisième angle du triangle 1 est $180 - 110 = 70^\circ$ . Leurs angles sont donc $45^\circ, 65^\circ, 70^\circ$ : ils sont semblables.

Dans le triangle 1 : $180^\circ - (45^\circ + 65^\circ) = 70^\circ$ . Les deux triangles ont donc les mêmes angles ( $45^\circ, 65^\circ, 70^\circ$ ), ils sont semblables.

Exercice 3 Proportionnalité des côtés (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Deux triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables. Les côtés de $ABC$ mesurent $4, 6$ et $8\text{ cm}$ . Le plus petit côté de $DEF$ mesure $6\text{ cm}$ . Quelle est la longueur du plus grand côté de $DEF$ (en cm) ?

Un indice

Le coefficient d'agrandissement est le rapport des plus petits côtés : $k = \frac{6}{4} = 1,5$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 12

Le rapport d'agrandissement est $k = \frac{6}{4} = 1,5$ . Le plus grand côté de $DEF$ mesure donc :
$8 \times 1,5 = 12\text{ cm}$

Exercice 4 Défi Seconde : Lien Thalès et Triangles Semblables

Palier 4 · défi

La configuration de Thalès (droites parallèles coupant deux sécantes) crée toujours deux triangles qui sont :

Semblables
Égaux
Équilatéraux
Symétriques

Un indice

Les côtés sont proportionnels d'après Thalès.

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Bonne réponse : A. Semblables

Parfait ! Les droites parallèles créent des angles correspondants égaux, donc les triangles sont semblables.

Le théorème de Thalès garantit que les côtés sont proportionnels et les angles égaux : les triangles formés sont donc semblables.