Puissances en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Connaître les règles opératoires sur les puissances entières relatives d'un nombre.
Maîtriser les puissances de 10, l'écriture décimale et le calcul fractionnaire associé.
Écrire un nombre en notation scientifique normalisée $a \times 10^n$ avec $1 \le |a| < 10$ .
Connaître les préfixes métriques (nano à téra) et déterminer des ordres de grandeur.

Le cours

1. Règles opératoires sur les puissances d'un nombre relatif

Pour tous nombres relatifs non nuls $a, b$ et entiers $n, m$ :

$a^n \times a^m = a^{n+m}$
$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
$(a^n)^m = a^{n \times m}$
$(a \times b)^n = a^n \times b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
Conventions fondamentales : $a^0 = 1$ ( $a \neq 0$ ) et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .

2. Puissances de 10 et décalage de virgule

$10^n = 100\dots0$ ( $n$ zéros) | $10^{-n} = 0{,}00\dots01$ ( $n$ zéros au total).
$10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ et $\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$ .
Multiplier par $10^n$ décale la virgule de $n$ rangs vers la droite.
Multiplier par $10^{-n}$ décale la virgule de $n$ rangs vers la gauche.

3. Notation scientifique

Tout nombre décimal non nul s'écrit de façon unique sous la forme :
$a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \le |a| < 10 \text{ et } n \text{ entier relatif}$
Autrement dit, $a$ a un seul chiffre non nul avant la virgule (et il garde le signe du nombre).
Exemples :

$543\,000 = 5{,}43 \times 10^5$
$0{,}000\,72 = 7{,}2 \times 10^{-4}$
$-0{,}003\,6 = -3{,}6 \times 10^{-3}$
Si la partie numérique vaut au moins 10, l'exposant est positif ; si elle est comprise entre 0 et 1, l'exposant est négatif.

4. Préfixes métriques et grandeurs scientifiques

Téra (T) = $10^{12}$ | Giga (G) = $10^9$ | Méga (M) = $10^6$ | Kilo (k) = $10^3$
milli (m) = $10^{-3}$ | micro ( $\mu$ ) = $10^{-6}$ | nano (n) = $10^{-9}$

À retenir pour le brevet

Même base : on additionne les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient, on les multiplie pour une puissance de puissance.
$a^0 = 1$ et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ( $a \neq 0$ ) ; $10^{-n}$ est un nombre positif.
Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \le |a| < 10$ .
Préfixes : k $= 10^3$ , M $= 10^6$ , G $= 10^9$ , T $= 10^{12}$ ; m $= 10^{-3}$ , µ $= 10^{-6}$ , n $= 10^{-9}$ .

Automatismes (questions flash) :

$10^3 \times 10^{-5} = \;?$ → $10^{-2}$ .
Notation scientifique de $0{,}047$ → $4{,}7 \times 10^{-3}$ .
$2^3 \times 5^3 = \;?$ → $(2 \times 5)^3 = 10^3 = 1\,000$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calcul de fraction avec puissances de 10

Exemple

Calculer $C = \frac{4 \times 10^{-2} \times 9 \times 10^6}{6 \times 10^3}$ et donner l'écriture scientifique.

Étape 1 (Séparation) : On sépare les coefficients numériques et les puissances de 10 :
$C = \frac{4 \times 9}{6} \times \frac{10^{-2} \times 10^6}{10^3}$ .
Étape 2 (Partie numérique) : $\frac{36}{6} = 6$ .
Étape 3 (Puissances de 10) : $10^{-2+6-3} = 10^1$ .
Étape 4 (Résultat scientifique) : $C = 6 \times 10^1 = 60$ .

Méthode : Simplifier avec les règles de calcul sur les puissances

Exemple

Écrire sous la forme d'une seule puissance, puis en écriture décimale : $A = \frac{2^5 \times 2^{-3}}{2^4}$ et $B = (10^{-2})^3 \times 10^4$ .

Pour $A$ (produit puis quotient de même base) : $2^5 \times 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^2$ , puis $\frac{2^2}{2^4} = 2^{2-4} = 2^{-2}$ .
Valeur de $A$ : $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$ .
Pour $B$ (puissance de puissance puis produit) : $(10^{-2})^3 = 10^{-2 \times 3} = 10^{-6}$ , puis $10^{-6} \times 10^4 = 10^{-6+4} = 10^{-2}$ .
Valeur de $B$ : $10^{-2} = 0{,}01$ .

Méthode : Utiliser les préfixes et estimer un ordre de grandeur

Exemple

a) Un virus mesure 120 nm. Donner sa taille en mètres, en notation scientifique.
b) Un disque dur de 2 To (téraoctets) stocke des photos de 4 Mo (mégaoctets) chacune. Combien de photos peut-il contenir ?

a) Remplacer le préfixe : nano $= 10^{-9}$ , donc $120 \text{ nm} = 120 \times 10^{-9} \text{ m}$ .
a) Normaliser : $120 = 1{,}2 \times 10^2$ , donc $120 \times 10^{-9} = 1{,}2 \times 10^{2 + (-9)} = 1{,}2 \times 10^{-7}$ m.
b) Convertir : $2 \text{ To} = 2 \times 10^{12}$ octets et $4 \text{ Mo} = 4 \times 10^6$ octets.
b) Diviser : $\frac{2 \times 10^{12}}{4 \times 10^6} = \frac{2}{4} \times 10^{12-6} = 0{,}5 \times 10^6 = 5 \times 10^5$ .
Le disque peut contenir environ 500 000 photos.

Pièges fréquents

Attention aux parenthèses : $(-3)^2 = +9$ , mais $-3^2 = -9$ !
$12 \times 10^4$ n'est PAS en notation scientifique car $12 \ge 10$ : il faut écrire $1{,}2 \times 10^5$ .
$a^n + a^m$ ne peut PAS se simplifier en additionnant les exposants : $2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 \neq 2^5 = 32$ !
Ne pas mélanger les règles : $2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5$ (on additionne), mais $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$ (on multiplie).

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Que vaut

a^n \times a^m

?

$a^n \times a^m = a^{n + m}$
(On additionne les exposants lors d'une multiplication de même base).

Que vaut

a^{-n}

pour

a \neq 0

?

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
(C'est l'inverse de $a^n$ ).

Quelle est la condition sur

a

pour l'écriture scientifique

a \times 10^n

?

$1 \le |a| < 10$
(Un seul chiffre non nul avant la virgule).

Simplifier

\frac{10^7}{10^{-3}}

.

$10^{7 - (-3)} = 10^{7 + 3} = 10^{10}$

Combien vaut

4^{-1}

sous forme décimale ?

$\frac{1}{4} = 0{,}25$ .

Écrire

-0{,}003\,6

en notation scientifique.

$-3{,}6 \times 10^{-3}$ (le signe est conservé et $1 \le 3{,}6 < 10$ ).

Combien y a-t-il de nanomètres dans 1 mm ?

$1 \text{ mm} = 10^{-3}$ m et $1 \text{ nm} = 10^{-9}$ m, donc $\frac{10^{-3}}{10^{-9}} = 10^6$ : un million de nanomètres.

Exercices corrigés

Exercice 1 Produit de puissances

Palier 1 · découverte

Écrire sous la forme d'une seule puissance de 10 :
$A = 10^4 \times 10^3$

$10^7$
$10^{12}$
$10^1$
$100^7$

Un indice

Règle opératoire : $a^n \times a^m = a^{n+m}$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $10^7$

Parfait ! Règle $10^n \times 10^m = 10^{n+m}$ . On additionne les exposants : $4 + 3 = 7$ .

$A = 10^{4+3} = 10^7$

Exercice 2 Écriture scientifique normalisée

Palier 2 · application

Quelle est l'écriture scientifique du nombre $45\,000$ ?

$4,5 \times 10^4$
$45 \times 10^3$
$0,45 \times 10^5$
$4,5 \times 10^{-4}$

Un indice

La notation scientifique est de la forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $4,5 \times 10^4$

Exact ! La notation scientifique impose un seul chiffre non nul avant la virgule ( $1 \le a < 10$ ).

$45\,000 = 4,5 \times 10^4$

Exercice 3 Quotient de puissances (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Calculer et donner l'écriture scientifique de :
$B = \frac{12 \times 10^5}{3 \times 10^8}$

$4 \times 10^{-3}$
$4 \times 10^3$
$9 \times 10^{-3}$
$4 \times 10^{13}$

Un indice

Sépare les nombres et les puissances de 10 : $B = \frac{12}{3} \times \frac{10^5}{10^8}$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $4 \times 10^{-3}$

Excellent ! $\frac{12}{3} = 4$ et $10^{5 - 8} = 10^{-3}$ .

$B = \frac{12 \times 10^5}{3 \times 10^8} = \frac{4 \times 10^5}{10^8} = 4 \times 10^{5-8} = 4 \times 10^{-3}$

Exercice 4 Défi Seconde : Vitesse de la lumière

Palier 4 · défi

La lumière parcourt environ $3 \times 10^8\text{ m/s}$ . La distance Terre-Soleil est d'environ $1,5 \times 10^{11}\text{ m}$ .
Combien de secondes met la lumière du Soleil pour atteindre la Terre ?

Un indice

Formule : $t = \frac{d}{v}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 500

$t = \frac{d}{v} = \frac{1,5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0,5 \times 10^3 = 500\text{ secondes}$
(soit environ 8 minutes et 20 secondes).