Compléments sur la dérivation en terminale : cours

Objectifs du chapitre

Reconnaître une fonction composée $g \circ u$ et déterminer son ensemble de définition.
Connaître et appliquer la formule de dérivation $(g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)$ .
Dériver les formes usuelles $u^n$ , $\sqrt{u}$ , $\frac{1}{u}$ , $e^u$ , $\ln(u)$ et $x \mapsto g(ax + b)$ .
Calculer la dérivée seconde $f''$ d'une fonction deux fois dérivable.
Interpréter le signe de $f''$ comme renseignant sur les variations de $f'$ .
Étudier les variations d'une fonction composée et déterminer une équation de tangente.

Le cours

1. Composée de deux fonctions

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et à valeurs dans un intervalle $J$ , et $g$ une fonction définie sur $J$ .

La composée de $u$ suivie de $g$ est la fonction $g \circ u$ définie sur $I$ par $(g \circ u)(x) = g(u(x))$ .
On calcule d'abord $u(x)$ , puis on applique $g$ au résultat : l'ordre compte, en général $g \circ u \neq u \circ g$ .
Exemple : avec $u(x) = x^2 + 1$ et $g(X) = \sqrt{X}$ , on a $(g \circ u)(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ , tandis que $(u \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 + 1 = x + 1$ pour $x \ge 0$ .
Pour déterminer l'ensemble de définition de $g \circ u$ , on cherche les $x$ tels que $u(x)$ appartienne à l'ensemble de définition de $g$ .

2. Dérivée d'une fonction composée

Théorème : si $u$ est dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $J$ (avec $u(I) \subset J$ ), alors $g \circ u$ est dérivable sur $I$ et
$(g \circ u)'(x) = u'(x) \times g'(u(x))$
Cas particulier $g(ax + b)$ : la fonction $x \mapsto g(ax + b)$ a pour dérivée $x \mapsto a\,g'(ax + b)$ .
Exemple : $(e^{3x - 1})' = 3e^{3x - 1}$ et $\left((2x + 5)^4\right)' = 4 \times 2 \times (2x + 5)^3 = 8(2x + 5)^3$ .

3. Formes usuelles à connaître

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Fonction	Dérivée	Condition
$u^n$ ( $n \ge 1$ entier)	$n\,u'\,u^{n-1}$	—
$u^n$ ( $n \le -1$ entier)	$n\,u'\,u^{n-1}$	$u$ ne s'annule pas sur $I$
$\frac{1}{u}$	$-\frac{u'}{u^2}$	$u$ ne s'annule pas sur $I$
$\sqrt{u}$	$\frac{u'}{2\sqrt{u}}$	$u > 0$ sur $I$
$e^{u}$	$u'\,e^{u}$	—
$\ln(u)$	$\frac{u'}{u}$	$u > 0$ sur $I$

Ces formules sont toutes des cas particuliers de

(g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)

; par exemple pour

g(X) = \sqrt{X}

,

g'(X) = \frac{1}{2\sqrt{X}}

donc

(\sqrt{u})' = u' \times \frac{1}{2\sqrt{u}}

.

4. Dérivée seconde

Si $f$ est dérivable sur $I$ et si sa dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ , on dit que $f$ est deux fois dérivable et on note $f'' = (f')'$ sa dérivée seconde.
Le signe de $f''$ donne les variations de $f'$ : si $f'' \ge 0$ sur $I$ , alors $f'$ est croissante sur $I$ ; si $f'' \le 0$ , $f'$ est décroissante.
Exemple : $f(x) = x^3 - 3x^2$ donne $f'(x) = 3x^2 - 6x$ et $f''(x) = 6x - 6$ ; $f'$ est décroissante sur $]-\infty ; 1]$ et croissante sur $[1 ; +\infty[$ , son minimum est $f'(1) = -3$ .
Interprétation cinématique : si $f(t)$ est une position, $f'(t)$ est la vitesse et $f''(t)$ l'accélération.
Le lien entre le signe de $f''$ et la convexité de $f$ est étudié dans le chapitre TA4.

5. Applications : variations et tangentes

Variations d'une composée : dans $(g \circ u)' = u' \times g'(u)$ , il suffit souvent d'étudier le signe de chaque facteur. Par exemple $e^{u} > 0$ , donc $(e^u)'$ a le signe de $u'$ : $x \mapsto e^{u(x)}$ a les mêmes variations que $u$ . De même, $\sqrt{u}$ et $\ln(u)$ ont les mêmes variations que $u$ (là où elles sont définies).
Tangente : la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ ; la formule de dérivation des composées permet de calculer $f'(a)$ .
Vérification numérique en Python d'une dérivée (taux d'accroissement pour un petit $h$ ) :

from math import exp

def f(x):
    return exp(x**2 - 3*x)

def derivee_approchee(f, a, h=1e-6):
    return (f(a + h) - f(a - h)) / (2 * h)

print(derivee_approchee(f, 1))

La valeur affichée est proche de $f'(1) = (2 \times 1 - 3)e^{1 - 3} = -e^{-2} \approx -0{,}135$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Dériver une fonction composée

Exemple

Dériver $f(x) = (x^2 - 3x + 4)^5$ puis $g(x) = \sqrt{2x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 (Reconnaître la forme) : $f = u^5$ avec $u(x) = x^2 - 3x + 4$ ; $g = \sqrt{v}$ avec $v(x) = 2x^2 + 1 > 0$ .
Étape 2 (Dériver la fonction intérieure) : $u'(x) = 2x - 3$ et $v'(x) = 4x$ .
Étape 3 (Appliquer la formule) : $f'(x) = 5u'(x)u(x)^4 = 5(2x - 3)(x^2 - 3x + 4)^4$ et $g'(x) = \frac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}} = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}}$ .
Conclusion : on n'oublie jamais le facteur $u'(x)$ , dérivée de la fonction « intérieure ».

Méthode : Étudier les variations d'une fonction composée

Exemple

Étudier les variations de $f(x) = e^{-x^2 + 4x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 (Dérivée) : $f = e^u$ avec $u(x) = -x^2 + 4x$ , $u'(x) = -2x + 4$ , donc $f'(x) = (-2x + 4)e^{-x^2 + 4x}$ .
Étape 2 (Signe) : $e^{-x^2 + 4x} > 0$ , donc $f'(x)$ a le signe de $-2x + 4$ : positif pour $x < 2$ , négatif pour $x > 2$ .
Étape 3 (Variations) : $f$ est croissante sur $]-\infty ; 2]$ et décroissante sur $[2 ; +\infty[$ .
Conclusion : $f$ admet un maximum en $2$ , égal à $f(2) = e^{4}$ .

Méthode : Calculer et exploiter une dérivée seconde

Exemple

Soit $f(x) = x e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ . Calculer $f''(x)$ et étudier les variations de $f'$ .

Étape 1 (Dérivée première) : $f = uv$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = e^{-x}$ , $v'(x) = -e^{-x}$ : $f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}$ .
Étape 2 (Dérivée seconde) : $f''(x) = -e^{-x} + (1 - x) \times (-e^{-x}) = (x - 2)e^{-x}$ .
Étape 3 (Signe de $f''$ ) : $e^{-x} > 0$ , donc $f''(x) \ge 0 \iff x \ge 2$ .
Conclusion : $f'$ est décroissante sur $]-\infty ; 2]$ et croissante sur $[2 ; +\infty[$ ; son minimum est $f'(2) = -e^{-2}$ .

Méthode : Déterminer une tangente à la courbe d'une composée

Exemple

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ au point d'abscisse $1$ .

Étape 1 (Image) : $f(1) = \ln(2)$ .
Étape 2 (Nombre dérivé) : $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ , donc $f'(1) = \frac{2}{2} = 1$ .
Étape 3 (Équation) : $y = f'(1)(x - 1) + f(1) = x - 1 + \ln(2)$ .
Conclusion : la tangente a pour équation $y = x - 1 + \ln(2)$ .

Pièges fréquents

Ne pas oublier le facteur $u'$ : $(e^{x^2})' = 2xe^{x^2}$ et non $e^{x^2}$ ; $\left((3x + 1)^4\right)' = 12(3x + 1)^3$ et non $4(3x + 1)^3$ .
$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ n'est valable que là où $u > 0$ : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$ .
L'ordre de composition compte : $\ln(x^2) \neq (\ln x)^2$ ; la première a pour dérivée $\frac{2}{x}$ , la seconde $\frac{2\ln x}{x}$ .
Le signe de $f''$ renseigne sur les variations de $f'$ , pas sur celles de $f$ : pour les variations de $f$ , c'est le signe de $f'$ qu'il faut étudier.
Pour calculer $f''$ , on dérive l'expression de $f'$ après l'avoir simplifiée (factorisation par $e^{u}$ par exemple) : les calculs sont beaucoup plus courts.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Donner la formule de dérivation de

g \circ u

.

$(g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)$ , c'est-à-dire $(g(u(x)))' = u'(x)\,g'(u(x))$ .

Quelle est la dérivée de

x \mapsto g(ax + b)

?

$x \mapsto a\,g'(ax + b)$ .

Dériver

e^{u}

et

\ln(u)

.

$(e^u)' = u'e^u$ et $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ (avec $u > 0$ ).

Dériver

\sqrt{u}

et

u^n

.

$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ (avec $u > 0$ ) et $(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1}$ .

Que renseigne le signe de la dérivée seconde

f''

?

Les variations de $f'$ : $f'' \ge 0$ sur $I$ signifie que $f'$ est croissante sur $I$ .

Calculer

f''(x)

pour

f(x) = e^{2x}

.

$f'(x) = 2e^{2x}$ , puis $f''(x) = 4e^{2x}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Dérivée d'une puissance composée

Palier 1 · découverte

Soit $f(x) = (3x - 2)^4$ sur $\mathbb{R}$ . Que vaut $f'(x)$ ?

$f'(x) = 12(3x - 2)^3$
$f'(x) = 4(3x - 2)^3$
$f'(x) = 12(3x - 2)^4$
$f'(x) = 3(3x - 2)^3$

Un indice

Écris $f = u^4$ avec $u(x) = 3x - 2$ et utilise $(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1}$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $f'(x) = 12(3x - 2)^3$

Avec $u(x) = 3x - 2$ , $u'(x) = 3$ et $(u^4)' = 4u'u^3$ : $f'(x) = 4 \times 3 \times (3x - 2)^3 = 12(3x - 2)^3$ .

Exercice 2 Dérivée d'une exponentielle composée

Palier 2 · application

Soit $f(x) = e^{x^2 - 5x}$ sur $\mathbb{R}$ . Que vaut $f'(x)$ ?

$f'(x) = (2x - 5)e^{x^2 - 5x}$
$f'(x) = e^{x^2 - 5x}$
$f'(x) = (x^2 - 5x)e^{2x - 5}$
$f'(x) = (2x - 5)e^{2x - 5}$

Un indice

$(e^u)' = u'e^u$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $f'(x) = (2x - 5)e^{x^2 - 5x}$

$f = e^u$ avec $u(x) = x^2 - 5x$ et $u'(x) = 2x - 5$ . Donc $f'(x) = u'(x)e^{u(x)} = (2x - 5)e^{x^2 - 5x}$ .

Exercice 3 Calcul d'une dérivée seconde

Palier 3 · approfondissement

Soit $f(x) = e^{-2x + 1}$ sur $\mathbb{R}$ . Que vaut $f''(x)$ ?

$f''(x) = 4e^{-2x + 1}$
$f''(x) = -2e^{-2x + 1}$
$f''(x) = -4e^{-2x + 1}$
$f''(x) = e^{-2x + 1}$

Un indice

Calcule d'abord $f'(x)$ avec $(e^u)' = u'e^u$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $f''(x) = 4e^{-2x + 1}$

$f'(x) = -2e^{-2x + 1}$ , puis $f''(x) = -2 \times (-2)e^{-2x + 1} = 4e^{-2x + 1}$ .

Exercice 4 Variations d'une racine composée

Palier 4 · défi

Soit $f(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 10}$ sur $\mathbb{R}$ . Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?

$]-\infty ; 3]$
$[3 ; +\infty[$
$]-\infty ; -3]$
$[-3 ; +\infty[$

Un indice

$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ a le signe de $u'$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $]-\infty ; 3]$

$u(x) = (x - 3)^2 + 1 > 0$ , donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = \frac{2x - 6}{2\sqrt{x^2 - 6x + 10}} = \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 10}}$ , du signe de $x - 3$ . Ainsi $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 3]$ et croissante sur $[3 ; +\infty[$ .