Cours et exercices corrigés de terminale : Convexité, concavité et points d'inflexion

1. Définition et caractérisation de la convexité

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ (la convexité est définie par les cordes, voir point 3 ; les équivalences ci-dessous sont admises, sauf l'implication démontrée au point 6) :

• $f$ est convexe sur $I \iff$ sa courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de toutes ses tangentes $\iff f'$ est croissante sur $I \iff f''(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$.
• $f$ est concave sur $I \iff$ sa courbe $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de toutes ses tangentes $\iff f'$ est décroissante sur $I \iff f''(x) \le 0$ pour tout $x \in I$.

2. Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente.

• Propriété : si $f$ est deux fois dérivable et si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors le point $A(a ; f(a))$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ : la fonction change de convexité en $a$.
• En pratique, on cherche les points d'inflexion parmi les réels où $f''$ s'annule, puis on vérifie le changement de signe.

3. Définition par les sécantes (cordes)

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$. $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous points $A$ et $B$ de sa courbe d'abscisses dans $I$, la portion de courbe située entre $A$ et $B$ est en dessous du segment $[AB]$.
Avec des formules : pour tous $x, y \in I$ et tout $t \in [0 ; 1]$,
$$f\big(tx + (1-t)y\big) \le t f(x) + (1-t) f(y)$$
$f$ est concave si l'inégalité est dans l'autre sens (courbe au-dessus de ses cordes).
Pour une fonction dérivable, les deux points de vue (cordes et tangentes) sont équivalents.

4. Convexité des fonctions de référence

• Convexes sur leur ensemble de définition : $x \mapsto x^2$, $x \mapsto e^x$, $x \mapsto |x|$.
• Concaves : $x \mapsto \sqrt{x}$ sur $[0 ; +\infty[$, $x \mapsto \ln(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ (car $\ln''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$).
• $x \mapsto x^3$ est concave sur $]-\infty ; 0]$ et convexe sur $[0 ; +\infty[$ : l'origine est un point d'inflexion.
• $x \mapsto \frac{1}{x}$ est concave sur $]-\infty ; 0[$ et convexe sur $]0 ; +\infty[$ (pas de point d'inflexion : $0$ n'est pas dans le domaine).

5. Inégalités de convexité

Si $f$ est convexe sur $I$, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes : pour tout $a \in I$ et tout $x \in I$,
$$f(x) \ge f'(a)(x - a) + f(a)$$
Deux inégalités classiques à connaître :

• $e^x \ge 1 + x$ pour tout réel $x$ (tangente en $0$ à la courbe de l'exponentielle) ;
• $\ln(x) \le x - 1$ pour tout $x > 0$ (le logarithme est concave, $y = x - 1$ est sa tangente en $1$).

En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente.

6. Démonstration : si $f''$ est positive, la courbe est au-dessus de ses tangentes

Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ avec $f''(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$, et soit $a \in I$. La tangente en $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

• On pose, pour $x \in I$, $g(x) = f(x) - \big[f'(a)(x - a) + f(a)\big]$ : c'est l'écart entre la courbe et la tangente. $g$ est dérivable et $g'(x) = f'(x) - f'(a)$.
• Comme $f'' \ge 0$, $f'$ est croissante sur $I$ : si $x \le a$, $f'(x) \le f'(a)$ donc $g'(x) \le 0$ ; si $x \ge a$, $g'(x) \ge 0$.
• $g$ est donc décroissante puis croissante : elle admet un minimum en $a$, égal à $g(a) = f(a) - f(a) = 0$.
• Ainsi $g(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$ : la courbe est au-dessus de sa tangente en $a$, et ceci pour tout $a \in I$.