Cours et exercices corrigés de terminale : Calcul intégral : intégrale, aire, valeur moyenne et intégration par parties

1. Définition et Théorème fondamental de l'analyse

Soit $f$ une fonction continue sur $[a ; b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle :
$$\int_a^b f(t) dt = [F(t)]_a^b = F(b) - F(a)$$

• Relation de Chasles : $\int_a^c f(t) dt + \int_c^b f(t) dt = \int_a^b f(t) dt$.
• Valeur moyenne de $f$ sur $[a ; b]$ : $\mu = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(t) dt$.

2. Intégration par parties (IPP)

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables à dérivées continues sur $[a ; b]$ :
$$\int_a^b u'(t) v(t) dt = [u(t) v(t)]_a^b - \int_a^b u(t) v'(t) dt$$
Règle ALPES pour choisir $v(t)$ (qui sera dérivée) : Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus (on dérive de préférence la fonction qui apparaît en premier dans cette liste).

3. Intégrale et aire

• Si $f$ est continue et positive sur $[a ; b]$ ($a \le b$), $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire, en unités d'aire (u.a.), du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$.
• Si $f$ est négative sur $[a ; b]$, cette aire vaut $-\int_a^b f(x)\,dx$.
• Si $f \ge g$ sur $[a ; b]$, l'aire entre les deux courbes vaut $\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$.
• Théorème fondamental : si $f$ est continue sur $I$ et $a \in I$, la fonction $F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ ; en particulier $F' = f$.

4. Linéarité, positivité, croissance

Pour $f$, $g$ continues sur $[a ; b]$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ :

• Linéarité : $\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$.
• Positivité : si $a \le b$ et $f \ge 0$ sur $[a ; b]$, alors $\int_a^b f \ge 0$.
• Croissance : si $a \le b$ et $f \le g$ sur $[a ; b]$, alors $\int_a^b f \le \int_a^b g$.
• Conséquence : si $m \le f \le M$ sur $[a ; b]$, alors $m(b - a) \le \int_a^b f \le M(b - a)$.

5. Méthode des rectangles avec Python

Quand on ne connaît pas de primitive (par exemple de $x \mapsto e^{-x^2}$), on approche l'intégrale par une somme d'aires de rectangles de largeur $\frac{b - a}{n}$ :

from math import exp
def rectangles(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + f(a + k*h) * h
    return s
print(rectangles(lambda x: exp(-x**2), 0, 1, 10))

Avec $n = 10$ on obtient environ $0{,}778$ ; la valeur exacte est proche de $0{,}747$. Plus $n$ est grand, meilleure est l'approximation.

• Variantes : la méthode des milieux (hauteur $f\left(a + (k + \frac{1}{2})h\right)$) donne environ $0{,}7471$ avec $n = 10$ ; la méthode des trapèzes (aire $\frac{h}{2}\big(f(x_k) + f(x_{k+1})\big)$) donne environ $0{,}7462$. Ces méthodes sont en général plus précises. Voir aussi la méthode de Monte-Carlo (chapitre TS4).

6. Démonstration : $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est une primitive de $f$ ($f$ continue, positive, croissante)

Soit $f$ continue, positive et croissante sur $[a ; b]$, et $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ (aire sous la courbe entre $a$ et $x$). Soit $x_0 \in [a ; b[$ et $h > 0$ tel que $x_0 + h \le b$.

• $F(x_0 + h) - F(x_0)$ est l'aire du domaine situé sous la courbe entre $x_0$ et $x_0 + h$.
• $f$ étant croissante, ce domaine contient le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x_0)$ et il est contenu dans le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x_0 + h)$ :

$$h\,f(x_0) \le F(x_0 + h) - F(x_0) \le h\,f(x_0 + h)$$

• En divisant par $h > 0$ : $f(x_0) \le \dfrac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} \le f(x_0 + h)$. Comme $f$ est continue en $x_0$, $f(x_0 + h) \to f(x_0)$ quand $h \to 0$ : par le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement tend vers $f(x_0)$.
• Pour $h < 0$, on obtient de même l'encadrement $f(x_0 + h) \le \dfrac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} \le f(x_0)$ et la même limite. Donc $F$ est dérivable et $F' = f$ : $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
• Conséquence : si $G$ est une primitive quelconque de $f$, alors $G = F + C$ (chapitre TA6), donc $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(t)\,dt$.

7. Démonstration : formule d'intégration par parties

Soient $u$ et $v$ dérivables sur $[a ; b]$, de dérivées $u'$ et $v'$ continues.

• Le produit $uv$ est dérivable et $(uv)' = u'v + uv'$, fonction continue : $uv$ est donc une primitive de $u'v + uv'$, et

$$\int_a^b \big(u'(t)v(t) + u(t)v'(t)\big)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b$$

• Par linéarité, $\int_a^b u'(t)v(t)\,dt + \int_a^b u(t)v'(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b$, d'où :

$$\int_a^b u'(t)v(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u(t)v'(t)\,dt$$
La continuité de $u'$ et $v'$ garantit l'existence de toutes les intégrales écrites.