Cours et exercices corrigés de terminale : La fonction logarithme népérien : propriétés, limites et croissances comparées

1. Propriétés algébriques fondamentales de $\ln$

Pour tous réels $a, b > 0$ :

• $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
• $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
• $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
• $\ln(a^n) = n\ln(a)$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$
• Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$, et pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.

2. Dérivée et croissances comparées

• Dérivée : $(\ln(x))' = \frac{1}{x} > 0$ pour tout $x > 0$ (fonction strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$).
• Dérivée composée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ (sur tout intervalle où $u(x) > 0$).
• Croissances comparées en $+\infty$ : L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$, qui l'emporte sur le logarithme :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \quad (n \in \mathbb{N}^*)$$

3. Définition, variations et signe

Pour tout $x > 0$, $\ln(x)$ est l'unique réel $y$ tel que $e^y = x$. La courbe de $\ln$ est la symétrique de celle de $\exp$ par rapport à la droite $y = x$.

• $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$, d'où pour $a, b > 0$ :

$$\ln(a) = \ln(b) \iff a = b \qquad \ln(a) < \ln(b) \iff a < b$$

• Signe : $\ln(x) < 0$ si $0 < x < 1$, $\ln(1) = 0$, $\ln(x) > 0$ si $x > 1$.
• Limites aux bornes : $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ (asymptote verticale $x = 0$) et $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.

4. Limites à connaître

• $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ : c'est le nombre dérivé de $\ln$ en $1$.
• Pour tout entier $n \ge 1$ : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n} = 0$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$.

« Les puissances de $x$ l'emportent sur le logarithme. »

5. Fonctions $\ln(u)$ : domaine et variations

• $\ln(u(x))$ n'existe que si $u(x) > 0$ : le domaine se détermine en résolvant cette inéquation.
• Sur un intervalle où $u > 0$ et $u$ dérivable, $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ a le signe de $u'$ : $\ln(u)$ a les mêmes variations que $u$.

Exemple : $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ est définie sur $\mathbb{R}$, $g'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ; $g$ est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$.

• Le logarithme décimal $\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$ vérifie $\log(10^n) = n$ (utilisé en chimie pour le pH, en acoustique pour les décibels).

6. Démonstration : dérivée de $\ln$ (la dérivabilité étant admise)

Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$. On admet que $\ln$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$. On dérive les deux membres, le premier comme une composée $e^{u}$ avec $u = \ln$ :
$$\ln'(x) \times e^{\ln(x)} = 1, \quad \text{soit} \quad \ln'(x) \times x = 1$$
Donc $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ pour tout $x > 0$. Comme $\dfrac{1}{x} > 0$, on retrouve que $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.
Relation fonctionnelle : pour $a, b > 0$, $e^{\ln(a) + \ln(b)} = e^{\ln(a)} \times e^{\ln(b)} = ab = e^{\ln(ab)}$. Deux réels ayant la même exponentielle sont égaux (l'exponentielle est strictement croissante), donc $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$.

7. Démonstration : limite de $x\ln(x)$ en $0$ et de $\frac{\ln(x)}{x}$ en $+\infty$

On se ramène aux croissances comparées de l'exponentielle (chapitre TA3) en posant $X = \ln(x)$, c'est-à-dire $x = e^X$.

• En $0$ : quand $x \to 0^+$, $X = \ln(x) \to -\infty$, et $x\ln(x) = e^X \times X = Xe^X$. Or $\lim\limits_{X \to -\infty} Xe^X = 0$, donc $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$.
• En $+\infty$ : quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$ et $\dfrac{\ln(x)}{x} = \dfrac{X}{e^X} = \dfrac{1}{e^X / X}$. Comme $\dfrac{e^X}{X} \to +\infty$, on obtient $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$.

8. Algorithme de Briggs (calcul approché d'un logarithme)

Pour $x > 0$, on extrait $k$ racines carrées successives : $y = \sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{x}}} = x^{1/2^k}$ est très proche de $1$ et $\ln(x) = 2^k \ln(y)$. Comme $\ln(y) \approx y - 1$ pour $y$ proche de $1$ (tangente en $1$ à la courbe de $\ln$), on obtient :
$$\ln(x) \approx 2^k\,(y - 1)$$

from math import sqrt

def briggs(x, k):
    y = x
    for i in range(k):
        y = sqrt(y)
    return 2**k * (y - 1)

print(briggs(2, 20))   # environ 0.693147

On retrouve $\ln(2) \approx 0{,}693147$.