Cours et exercices corrigés de terminale : Primitives et équations différentielles linéaires

1. Primitives de formes composées usuelles

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, de dérivée $u'$ continue. Une primitive sur $I$ de :

• $u' u^n$ est $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$ (et pour $n$ entier $\le -2$ si $u$ ne s'annule pas sur $I$) ;
• $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln(u)$ si $u > 0$ sur $I$ (plus généralement $\ln(|u|)$ si $u$ ne s'annule pas sur $I$) ;
• $u' e^u$ est $e^u$ ;
• $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ est $2\sqrt{u}$ si $u > 0$ sur $I$.

Les autres primitives s'obtiennent en ajoutant une constante $C$. Toutes ces formules découlent de la dérivée d'une composée $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$.

2. Résolution des équations différentielles linéaires

• Pour $y' = ay$ ($a \in \mathbb{R}$) : les solutions sont les fonctions $y(x) = C e^{ax}$ ($C \in \mathbb{R}$).
• Pour $y' = ay + b$ ($a \neq 0$) : les solutions sont les fonctions $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ ($C \in \mathbb{R}$).
• Pour toute condition initiale $(x_0, y_0)$, il existe une unique solution vérifiant $y(x_0) = y_0$.

3. Primitives : définition et propriétés

• $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$.
• Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
• Si $F$ est une primitive de $f$, les primitives de $f$ sont les fonctions $x \mapsto F(x) + C$, $C \in \mathbb{R}$ : deux primitives diffèrent d'une constante.
• Pour $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$, il existe une unique primitive $F$ telle que $F(x_0) = y_0$.
• Une équation différentielle $y' = f$ a pour solutions exactement les primitives de $f$.

4. Primitives usuelles

• $x^n$ ($n \in \mathbb{N}$) a pour primitives $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ sur $\mathbb{R}$.
• $\dfrac{1}{x^n}$ ($n \ge 2$ entier) a pour primitives $-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C$ sur $]0 ; +\infty[$ (ou $]-\infty ; 0[$).
• $\dfrac{1}{x^2}$ a pour primitives $-\dfrac{1}{x} + C$ sur $]0 ; +\infty[$ (ou $]-\infty ; 0[$).
• $\dfrac{1}{x}$ a pour primitives $\ln(x) + C$ sur $]0 ; +\infty[$.
• $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ a pour primitives $2\sqrt{x} + C$ sur $]0 ; +\infty[$.
• $e^x$ a pour primitives $e^x + C$ ; $e^{ax+b}$ ($a \ne 0$) a pour primitives $\dfrac{1}{a}e^{ax+b} + C$.
• $\cos(x)$ a pour primitives $\sin(x) + C$ ; $\sin(x)$ a pour primitives $-\cos(x) + C$.

5. Équation $y' = ay + f$ : structure des solutions

Soit $a \ne 0$ un réel et $f$ une fonction définie sur $I$. Si $g$ est une solution particulière de $(E) : y' = ay + f$, alors les solutions de $(E)$ sont les fonctions :
$$y(x) = Ce^{ax} + g(x), \quad C \in \mathbb{R}$$
Solution générale = solutions de $y' = ay$ + une solution particulière.
Exemple de modélisation (loi de Newton) : la température $\theta(t)$ d'un café dans une pièce à $20$ °C vérifie $\theta' = -k(\theta - 20)$ avec $k > 0$, soit $\theta' = -k\theta + 20k$ ; les solutions sont $\theta(t) = Ce^{-kt} + 20$, qui tendent vers $20$ quand $t \to +\infty$.

6. Démonstration : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante

Soient $F$ et $G$ deux primitives d'une même fonction $f$ continue sur un intervalle $I$.

• La fonction $H = G - F$ est dérivable sur $I$ et $H' = G' - F' = f - f = 0$.
• Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : il existe un réel $C$ tel que $H(x) = C$ pour tout $x \in I$.
• Donc $G(x) = F(x) + C$ pour tout $x \in I$. Réciproquement, $(F + C)' = F' = f$ : toute fonction $F + C$ est une primitive de $f$.

L'hypothèse « intervalle » est essentielle : sur $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$, on peut ajouter des constantes différentes de chaque côté de $0$.

7. Démonstration : résolution de $y' = ay$ et de $y' = ay + b$

• Les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$ sont solutions de $y' = ay$ : leur dérivée est $aCe^{ax} = a \times Ce^{ax}$.
• Ce sont les seules : soit $f$ une solution sur $\mathbb{R}$. On pose $g(x) = f(x)e^{-ax}$. Alors

$$g'(x) = f'(x)e^{-ax} - af(x)e^{-ax} = \big(f'(x) - af(x)\big)e^{-ax} = 0$$
car $f' = af$. Donc $g$ est constante sur $\mathbb{R}$ : $g(x) = C$, soit $f(x) = Ce^{ax}$.

• Cas $y' = ay + b$ ($a \ne 0$) : la constante $y_p = -\dfrac{b}{a}$ est solution, car $y_p' = 0$ et $ay_p + b = -b + b = 0$. Pour une fonction dérivable $f$ : $f' = af + b \iff f' = a(f - y_p) \iff (f - y_p)' = a(f - y_p)$. Donc $f$ est solution si et seulement si $f - y_p$ est solution de $y' = ay$, c'est-à-dire $f(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$, $C \in \mathbb{R}$.

8. Méthode d'Euler en Python

Pour approcher la solution de $y' = ay + b$ telle que $y(x_0) = y_0$, on remplace la courbe par sa tangente sur des intervalles de petite longueur $h$ :
$$y(x + h) \approx y(x) + h \times y'(x) = y(x) + h\big(ay(x) + b\big)$$

def euler(a, b, x0, y0, h, n):
    x, y = x0, y0
    for i in range(n):
        y = y + h * (a * y + b)
        x = x + h
    return x, y

print(euler(3, 6, 0, 5, 0.001, 1000))

Pour $y' = 3y + 6$, $y(0) = 5$, on obtient $y(1) \approx 137{,}97$, à comparer à la valeur exacte $7e^3 - 2 \approx 138{,}60$ (voir la méthode « Résoudre $y' = ay + b$ avec condition initiale ») : plus le pas $h$ est petit, meilleure est l'approximation. La même boucle avec y = y + h * f(x) approche une primitive de $f$ (équation $y' = f$).