Ensemble de nombres en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Connaître et distinguer les ensembles de nombres : $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ .
Définir un nombre irrationnel comme un nombre ne pouvant s'écrire sous forme de quotient $\frac{a}{b}$ .
Maîtriser les 4 opérations sur les fractions avec des nombres relatifs.
Respecter scrupuleusement les priorités opératoires et rendre les fractions irréductibles.

Le cours

1. Les ensembles de nombres emboîtés

Entiers naturels $\mathbb{N}$ : entiers positifs ( $0, 1, 2, 42...$ ).
Entiers relatifs $\mathbb{Z}$ : entiers positifs et négatifs ( $-7, -1, 0, 3...$ ).
Nombres décimaux $\mathbb{D}$ : nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule, pouvant s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ (ex: $0{,}25 = \frac{1}{4}$ , mais $\frac{1}{3} \approx 0{,}333... \notin \mathbb{D}$ ).
Nombres rationnels $\mathbb{Q}$ : nombres pouvant s'écrire sous la forme d'un quotient $\frac{a}{b}$ où $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$ (ex: $\frac{1}{3}, -\frac{7}{11}$ ).
Nombres réels $\mathbb{R}$ : ensemble de tous les nombres (rationnels et irrationnels).

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

2. Les nombres irrationnels

Définition du cours : Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'un quotient $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers ( $b \neq 0$ ).
Exemples majeurs :

$\pi \approx 3{,}14159...$
$\sqrt{2} \approx 1{,}4142...$ (la diagonale d'un carré de côté 1)
$\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}$ ... (racines carrées d'entiers qui ne sont pas des carrés parfaits).

3. Les 4 opérations sur les fractions de relatifs

Addition / Soustraction : on réduit d'abord les fractions au même dénominateur (de préférence le plus petit multiple commun des dénominateurs), puis on additionne ou on soustrait les numérateurs ; le dénominateur commun ne change pas :

$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d} \qquad \text{exemple : } \frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}$

Multiplication : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en décomposant pour simplifier avant de calculer :

$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

Division : diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse :

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

Signe d'une fraction : $\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$ et $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$ .

4. Fractions irréductibles et division par zéro

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux (leur PGCD vaut 1).
La division par 0 est strictement impossible : une fraction dont le dénominateur est nul n'a aucun sens mathématique.

À retenir pour le brevet

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ; $\pi$ et $\sqrt{2}$ sont des nombres irrationnels.
Addition et soustraction : même dénominateur d'abord. Multiplication : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. Division : on multiplie par l'inverse.
On simplifie avant de multiplier et on donne le résultat sous forme irréductible.
Priorités : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, puis additions et soustractions.

Automatismes (questions flash) :

$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \;?$ → $\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .
Inverse de $0{,}25$ ? → $4$ , car $0{,}25 \times 4 = 1$ .
$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \;?$ → $\frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2}$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Enchaînement d'opérations fractionnaires complexes

Exemple

Calculer $A = \frac{7}{5} - \frac{3}{5} \div \frac{9}{10}$ sous forme irréductible.

Étape 1 (Priorités) : La division est prioritaire sur la soustraction.
Étape 2 (Multiplier par l'inverse) : $\frac{3}{5} \div \frac{9}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{9}$ .
Étape 3 (Simplification préalable) : $\frac{3 \times (5 \times 2)}{5 \times (3 \times 3)} = \frac{2}{3}$ .
Étape 4 (Mise au même dénominateur) : $A = \frac{7}{5} - \frac{2}{3} = \frac{21}{15} - \frac{10}{15} = \frac{11}{15}$ (fraction irréductible).

Méthode : Calculer avec des fractions de signes différents

Exemple

Calculer $B = -\frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{-9}{10}$ et donner le résultat sous forme irréductible.

Étape 1 (Priorités) : la multiplication est prioritaire sur l'addition.
Étape 2 (Signe puis simplification du produit) : un seul facteur négatif, donc le produit est négatif :
$\frac{5}{6} \times \frac{-9}{10} = -\frac{5 \times 9}{6 \times 10} = -\frac{5 \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 2 \times 5} = -\frac{3}{4}$ .
Étape 3 (Addition, même dénominateur) : $B = -\frac{3}{4} + \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{4}$ .
Étape 4 (Forme irréductible) : $B = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ (soit $-1{,}5$ ).

Méthode : Savoir si une fraction est un nombre décimal

Exemple

Les nombres $\frac{7}{40}$ et $\frac{5}{12}$ sont-ils des nombres décimaux ?

Étape 1 (Fraction irréductible) : $7$ et $40$ n'ont pas de diviseur commun autre que 1 ; $5$ et $12$ non plus.
Étape 2 (Cas de $\frac{7}{40}$ ) : $40 = 2^3 \times 5$ . En multipliant par $5^2 = 25$ , on obtient une puissance de 10 au dénominateur :
$\frac{7}{40} = \frac{7 \times 25}{40 \times 25} = \frac{175}{1\,000} = 0{,}175$ . C'est un nombre décimal.
Étape 3 (Cas de $\frac{5}{12}$ ) : $12 = 2^2 \times 3$ contient le facteur premier 3 : aucune multiplication ne donnera $10$ , $100$ , $1\,000$ … au dénominateur. La division ne s'arrête pas : $\frac{5}{12} = 0{,}41666\dots$
Conclusion : $\frac{7}{40} \in \mathbb{D}$ , alors que $\frac{5}{12}$ est un rationnel non décimal ( $\frac{5}{12} \in \mathbb{Q}$ mais $\frac{5}{12} \notin \mathbb{D}$ ).
Règle utile : une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5.

Pièges fréquents

Ne jamais additionner les dénominateurs : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ et NON $\frac{2}{5}$ !
Ne pas confondre opposé ( $-x$ ) et inverse ( $\frac{1}{x}$ ). L'inverse de $-\frac{4}{7}$ est $-\frac{7}{4}$ .
Penser que $\frac{1}{3}$ est un nombre décimal : $1 \div 3 = 0{,}333...$ , la division ne s'arrête jamais, donc $\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$ .
Un nombre affiché avec beaucoup de décimales n'est pas forcément irrationnel : $\frac{1}{7} = 0{,}142857142857\dots$ est un rationnel (ses décimales se répètent).

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la règle pour diviser par une fraction non nulle ?

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

Qu'est-ce qu'un nombre irrationnel ?

Un nombre réel qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'un quotient $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers (ex: $\pi, \sqrt{2}$ ).

Un nombre décimal fait-il partie de

\mathbb{Q}

et de

\mathbb{R}

?

Oui, car tout décimal peut s'écrire sous forme de fraction $\frac{a}{10^n}$ . L'inclusion est : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .

Quel est l'inverse de

-\frac{8}{3}

?

$-\frac{3}{8}$ (l'inverse conserve le signe et échange numérateur et dénominateur).

Quelle est la condition obligatoire pour additionner deux fractions ?

Elles doivent impérativement être réduites au même dénominateur avant d'additionner les numérateurs.

Calculer

\frac{2}{3} + \frac{1}{6}

.

$\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ (on écrit $\frac{2}{3}$ avec le dénominateur 6).

Le nombre

\frac{3}{8}

est-il décimal ?

Oui : $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{375}{1\,000} = 0{,}375$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Addition de fractions de même dénominateur

Palier 1 · découverte

Calculer l'expression suivante et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :
$A = \frac{5}{7} + \frac{8}{7}$

Un indice

Les deux fractions ont déjà le même dénominateur ( $7$ ). Tu n'as qu'à additionner les numérateurs !

Voir la correction

Réponse attendue : 13/7

Comme les dénominateurs sont identiques :
$A = \frac{5 + 8}{7} = \frac{13}{7}$
13 et 7 sont des nombres premiers entre eux, la fraction $\frac{13}{7}$ est donc irréductible.

Exercice 2 Addition avec dénominateurs différents

Palier 2 · application

Calculer et donner sous forme irréductible :
$C = \frac{3}{4} + \frac{5}{12}$

Un indice

Le dénominateur commun est 12 (car $12 = 4 \times 3$ ). Transforme $\frac{3}{4}$ en douzièmes.

Voir la correction

Réponse attendue : 7/6

$C = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5}{12} = \frac{14}{12} = \frac{14 \div 2}{12 \div 2} = \frac{7}{6}$

Exercice 3 Priorités opératoires complexes (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Calculer en détaillant les étapes et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :
$E = \frac{7}{5} - \frac{3}{5} \div \frac{9}{10}$

Un indice

Attention aux priorités : effectue d'abord la division $\frac{3}{5} \div \frac{9}{10}$ , puis soustrais le résultat à $\frac{7}{5}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 11/15

1. Priorité à la division :
$\frac{3}{5} \div \frac{9}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{9} = \frac{3 \times 10}{5 \times 9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$
2. Soustraction avec dénominateur commun $15$ :
$E = \frac{7}{5} - \frac{2}{3} = \frac{7 \times 3}{5 \times 3} - \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{21}{15} - \frac{10}{15} = \frac{11}{15}$

Exercice 4 Défi Seconde : Somme des inverses

Palier 4 · défi

Soient $a = \frac{2}{3}$ et $b = \frac{4}{5}$ . On pose $S = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .
Calculer la valeur exacte de $S$ sous forme de fraction irréductible.

Un indice

$\frac{1}{a}$ est l'inverse de $a$ . Comme $a = \frac{2}{3}$ , son inverse est $\frac{3}{2}$ . Fais de même pour $b$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 11/4

1. Inverses respectifs :
$\frac{1}{a} = \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad \frac{1}{b} = \frac{5}{4}$
2. Somme :
$S = \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = \frac{6}{4} + \frac{5}{4} = \frac{11}{4} = 2,75$
(Remarque : $\frac{11}{4}$ est aussi un nombre décimal exact !)