Équations en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Résoudre une équation linéaire du premier degré $ax + b = cx + d$ .
Énoncer et appliquer le théorème de l'équation produit-nul $(ax + b)(cx + d) = 0$ .
Résoudre les équations du type $x^2 = a$ selon le signe de $a$ .
Complément (utile en seconde) : résoudre une inéquation du premier degré en changeant le sens quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Mettre un problème en équation et conclure.

Le cours

1. Résolution d'équation du premier degré : ax + b = cx + d

On regroupe les termes en $x$ d'un côté (en changeant de signe le terme déplacé) et les nombres de l'autre côté :

$ax - cx = d - b \implies (a - c)x = d - b$

On isole $x$ en divisant par le coefficient devant $x$ : $x = \frac{d - b}{a - c}$ .
On vérifie toujours sa solution en la réinjectant dans l'équation d'origine.

2. Théorème de l'équation produit-nul

Propriété d'or du cours : « Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul » :
$(ax + b)(cx + d) = 0 \iff ax + b = 0 \quad \text{ou} \quad cx + d = 0$
L'équation admet alors au maximum deux solutions distinctes : $x = -\frac{b}{a}$ ou $x = -\frac{d}{c}$ .

3. Équations du type $x^2 = a$

Selon le signe du nombre réel $a$ :

Si $a > 0$ : l'équation admet DEUX solutions : $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$ .
Si $a = 0$ : l'équation admet UNE unique solution : $x = 0$ .
Si $a < 0$ : l'équation n'admet AUCUNE solution réelle (car un carré est toujours positif ou nul).

4. Complément (utile en seconde) : inéquations et changement de sens

Les inéquations ne figurent plus au programme du collège ; ce paragraphe prépare la seconde.
On résout une inéquation comme une équation, avec une règle capitale :
quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité :
$-3x \le 12 \iff x \ge \frac{12}{-3} \iff x \ge -4$
Les solutions forment un intervalle : ici $[-4 ; +\infty[$ .

À retenir pour le brevet

Pour résoudre $ax + b = cx + d$ : regrouper les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis diviser par le coefficient de $x$ .
Produit nul : $A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$ .
$x^2 = a$ : deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ si $a > 0$ , une seule ( $0$ ) si $a = 0$ , aucune si $a < 0$ .
Dans un problème : inconnue, équation, résolution, vérification, phrase de conclusion avec l'unité.

Automatismes (questions flash) :

Résoudre $3x - 7 = 8$ → $3x = 15$ , donc $x = 5$ .
Résoudre $x^2 = 36$ → $x = 6$ ou $x = -6$ .
$-2$ est-il solution de $x^2 + 3x + 2 = 0$ ? → oui : $4 - 6 + 2 = 0$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Résoudre une équation produit-nul rédigée

Exemple

Résoudre $(2x - 5)(3x + 12) = 0$ .

Étape 1 (Énoncé de la propriété) : Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un des facteurs est nul.
Étape 2 (Séparation) : $2x - 5 = 0$ ou $3x + 12 = 0$ .
Étape 3 (Résolution) :
- $2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} = 2{,}5$ .
- $3x = -12 \implies x = \frac{-12}{3} = -4$ .
Étape 4 (Conclusion) : Les solutions de l'équation sont $-4$ et $2{,}5$ (noté $S = \{-4 ; 2{,}5\}$ ).

Méthode : Mettre un problème en équation

Exemple

Un cinéma propose deux tarifs. Tarif A : abonnement de 20 € puis 5 € par séance. Tarif B : 9 € par séance, sans abonnement. Pour combien de séances les deux tarifs coûtent-ils le même prix ?

Étape 1 (Choisir l'inconnue) : on note $x$ le nombre de séances.
Étape 2 (Traduire l'énoncé) : tarif A : $20 + 5x$ ; tarif B : $9x$ . On cherche $x$ tel que $20 + 5x = 9x$ .
Étape 3 (Résoudre) : $20 = 9x - 5x$ , soit $20 = 4x$ , donc $x = \frac{20}{4} = 5$ .
Étape 4 (Vérifier) : tarif A : $20 + 5 \times 5 = 45$ ; tarif B : $9 \times 5 = 45$ . Les deux coûts sont égaux.
Étape 5 (Conclure par une phrase) : les deux tarifs coûtent 45 € pour 5 séances. Au-delà, le tarif A est plus avantageux (pour 6 séances : 50 € contre 54 €).

Méthode : Résoudre une équation du type $x^2 = a$

Exemple

Résoudre $2x^2 - 18 = 0$ , puis calculer le côté d'un carré d'aire $50 \text{ cm}^2$ .

Étape 1 (Isoler $x^2$ ) : $2x^2 = 18$ , donc $x^2 = \frac{18}{2} = 9$ .
Étape 2 (Signe de $a$ ) : $9 > 0$ , l'équation a deux solutions : $x = \sqrt{9} = 3$ ou $x = -\sqrt{9} = -3$ .
Vérification : $2 \times 3^2 - 18 = 0$ et $2 \times (-3)^2 - 18 = 0$ .
Étape 3 (Problème du carré) : si $c$ est le côté en cm, $c^2 = 50$ , donc $c = \sqrt{50}$ ou $c = -\sqrt{50}$ .
Étape 4 (Interpréter) : une longueur est positive, on garde $c = \sqrt{50} \approx 7{,}1$ cm (valeur exacte $\sqrt{50}$ cm).

Pièges fréquents

Pour $x^2 = 25$ , oublier la solution négative : les solutions sont $5$ ET $-5$ !
Diviser par $x$ pour « simplifier » une équation comme $x(2x-3) = 0$ : cela élimine illégalement la solution $x = 0$ !
Oublier d'inverser le sens de l'inégalité dans une inéquation lorsqu'on divise par un nombre négatif.
Dans un problème, garder une solution négative alors que l'inconnue est une longueur ou un nombre d'objets, ou oublier la phrase de conclusion avec l'unité.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la propriété de l'équation produit-nul ?

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul :
$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$

Quelles sont les solutions de l'équation

x^2 = 49

?

Deux solutions : $7$ et $-7$ (car $7^2 = 49$ et $(-7)^2 = 49$ ).

Combien de solutions admet l'équation

x^2 = -9

?

Aucune solution réelle, car le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.

Que devient l'inégalité

-2x < 6

quand on isole

x

?

$x > -3$
(On change le sens $<$ en $>$ car on divise par le nombre négatif $-2$ ).

Quelles sont les solutions de

(x - 3)(2x + 8) = 0

?

$x = 3$ ou $x = -4$ .

Le nombre

2

est-il solution de

3x - 1 = x + 3

?

Oui : à gauche $3 \times 2 - 1 = 5$ , à droite $2 + 3 = 5$ .

Résoudre

5x + 2 = 3x - 6

.

$5x - 3x = -6 - 2$ , soit $2x = -8$ , donc $x = -4$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Équation élémentaire ax = b

Palier 1 · découverte

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $4x = 28$ . Que vaut $x$ ?

Un indice

Pour isoler $x$ , divise les deux membres par 4.

Voir la correction

Réponse attendue : 7

$4x = 28 \implies x = \frac{28}{4} = 7$

Exercice 2 Équation avec x dans chaque membre

Palier 2 · application

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $7x - 5 = 3x + 15$ . Quelle est la solution ?

Un indice

Regroupe les $x$ à gauche (en soustrayant $3x$ ) et les nombres à droite (en ajoutant $5$ ).

Voir la correction

Réponse attendue : 5

$7x - 5 = 3x + 15 \implies 7x - 3x = 15 + 5 \implies 4x = 20 \implies x = 5$

Exercice 3 Équations du type $x^2 = a$ (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Combien de solutions réelles possède l'équation $x^2 = 49$ , et quelles sont-elles ?

Deux solutions : $7$ et $-7$
Une seule solution : $7$
Aucune solution
Deux solutions : $\sqrt{49}$ et $\sqrt{-49}$

Un indice

Pense aux nombres dont le carré vaut 49. N'oublie pas le signe moins !

Voir la correction

Bonne réponse : A. Deux solutions : $7$ et $-7$

Parfait ! Comme $49 > 0$ , l'équation $x^2 = 49$ admet deux solutions réelles opposées : $\sqrt{49} = 7$ et $-\sqrt{49} = -7$ .

Comme $49 > 0$ , l'équation $x^2 = 49$ admet deux solutions réelles distinctes :
$x = \sqrt{49} = 7 \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{49} = -7$

Exercice 4 Défi Seconde : Équation produit après factorisation

Palier 4 · défi

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(2x + 5)(x - 4) + (2x + 5)(3x + 1) = 0$ .
Quelle est la plus grande des deux solutions ?

Un indice

Ne développe surtout pas ! Factorise d'abord par le facteur commun $(2x + 5)$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 0.75

1. Factorisons par $(2x + 5)$ :
$(2x + 5)[(x - 4) + (3x + 1)] = 0 \implies (2x + 5)(4x - 3) = 0$
2. Équation produit nul :
$2x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{2} = -2,5$
$4x - 3 = 0 \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4} = 0,75$
La plus grande solution est $0,75$ (ou $\frac{3}{4}$ ).

Objectifs du chapitre

Le cours

1. Résolution d'équation du premier degré : ax + b = cx + d

2. Théorème de l'équation produit-nul

3. Équations du type x2=ax^2 = ax2=a

4. Complément (utile en seconde) : inéquations et changement de sens

À retenir pour le brevet

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Résoudre une équation produit-nul rédigée

Méthode : Mettre un problème en équation

Méthode : Résoudre une équation du type x2=ax^2 = ax2=a

Pièges fréquents

Questions de révision

Exercices corrigés

Exercice 1 Équation élémentaire ax = b

Exercice 2 Équation avec x dans chaque membre

Exercice 3 Équations du type x2=ax^2 = ax2=a (Brevet)

Exercice 4 Défi Seconde : Équation produit après factorisation

3. Équations du type $x^2 = a$

Méthode : Résoudre une équation du type $x^2 = a$

Exercice 3 Équations du type $x^2 = a$ (Brevet)