Calcul littéral et factorisation en 3e : cours et exercices

Objectifs du chapitre

Comprendre que « Factoriser, c'est transformer une somme ou différence en produit (faire réapparaître des parenthèses) ».
Savoir repérer et extraire un facteur commun évident (un nombre, la lettre $x$ ou un monôme $kx$ ).
Connaître par cœur l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ pour factoriser une différence de deux carrés.
Maîtriser la factorisation par facteur commun parenthèse $(ax+b)$ de type Brevet.

Le cours

1. Qu'est-ce que factoriser ? « Faire réapparaître les parenthèses »

Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en un produit de facteurs.
C'est l'opération inverse du développement.
Développé : $6x + 15$ $\iff$ Factorisé : $3(2x + 5)$ .

2. Méthode 1 : Recherche d'un facteur commun évident

Facteur numérique : $12x - 8 = 4 \times 3x - 4 \times 2 = 4(3x - 2)$ .
Facteur en $x$ : $x^2 + 5x = x \times x + x \times 5 = x(x + 5)$ .
Facteur monôme $kx$ : $15x^2 - 10x = 5x \times 3x - 5x \times 2 = 5x(3x - 2)$ .
Règle d'or du 1 : $7x + 7 = 7(x + 1)$ (ne JAMAIS oublier le $+1$ !).

3. Méthode 2 : L'identité remarquable $a^2 - b^2$ (Différence de deux carrés)

Pour tous nombres $a$ et $b$ :
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Ex 1 : $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$ .
Ex 2 : $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x - 4)(3x + 4)$ .
Ex 3 : $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)$ .

4. Méthode 3 (Brevet) : Facteur commun parenthèse

Structure : $A = (ax+b)(cx+d) + (ax+b)(ex+f) = (ax+b)[(cx+d)+(ex+f)]$ .
On souligne le bloc commun $(ax+b)$ , on le place devant et on rassemble tout le reste dans des crochets.
Attention si le deuxième terme est soustrait : distribuer le signe moins dans les crochets !

À retenir pour le brevet

Factoriser, c'est transformer une somme en produit ; c'est l'inverse de développer.
On cherche d'abord un facteur commun (un nombre, $x$ , ou une parenthèse entière).
Sinon, on cherche une différence de deux carrés : $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .
On vérifie toujours une factorisation en la redéveloppant.
Factoriser permet de résoudre une équation grâce à la propriété du produit nul.

Automatismes (questions flash) :

Factoriser $x^2 - 64$ → $(x-8)(x+8)$ .
Factoriser $6x^2 + 9x$ → $3x(2x+3)$ .
Factoriser $7x - 7$ → $7(x-1)$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Factoriser une expression de Brevet avec facteur commun parenthèse

Exemple

Factoriser $F = (2x - 3)(4x + 1) - (2x - 3)(x - 2)$ .

Étape 1 (Souligner le facteur commun) : $(2x - 3)$ est présent dans les deux blocs.
Étape 2 (Mettre en facteur devant des crochets) : $F = (2x - 3) [ (4x + 1) - (x - 2) ]$ .
Étape 3 (Supprimer les parenthèses intérieures) : Le signe moins inverse les signes : $F = (2x - 3) [ 4x + 1 - x + 2 ]$ .
Étape 4 (Réduire les crochets) : $4x - x = 3x$ et $1 + 2 = 3$ . D'où : $F = (2x - 3)(3x + 3)$ .
Étape 5 (Factorisation maximale) : Comme $3x + 3 = 3(x + 1)$ , le résultat final est : $F = 3(2x - 3)(x + 1)$ .

Méthode : Factoriser avec $a^2 - b^2$ pour résoudre une équation

Exemple

Factoriser $E = (2x+1)^2 - 9$ , puis résoudre l'équation $E = 0$ .

Étape 1 (Reconnaître une différence de deux carrés) : $9 = 3^2$ , donc $E = (2x+1)^2 - 3^2$ est de la forme $a^2 - b^2$ avec $a = 2x+1$ et $b = 3$ .
Étape 2 (Appliquer l'identité) : $E = (2x + 1 - 3)(2x + 1 + 3) = (2x - 2)(2x + 4)$ .
Étape 3 (Factorisation complète, facultative) : $2x - 2 = 2(x-1)$ et $2x + 4 = 2(x+2)$ , donc $E = 4(x-1)(x+2)$ .
Étape 4 (Équation produit nul) : $E = 0 \iff x - 1 = 0$ ou $x + 2 = 0 \iff x = 1$ ou $x = -2$ .
Étape 5 (Vérification) : pour $x = 1$ : $3^2 - 9 = 0$ ; pour $x = -2$ : $(-3)^2 - 9 = 0$ . Les solutions sont $-2$ et $1$ .

Pièges fréquents

Oublier le 1 lors de la factorisation : $5x + 5 = 5(x + 1)$ et NON $5x$ !
Confondre $a^2 - b^2$ et $(a - b)^2$ : $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ , alors que $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
Signe « - » devant la deuxième parenthèse : $(x+1)(2x+3) - (x+1)(x-4) = (x+1)[(2x+3) - (x-4)] = (x+1)(2x+3-x+4) = (x+1)(x+7)$ .
Une factorisation se vérifie en redéveloppant : $4(x-1)(x+2) = 4(x^2 + x - 2) = 4x^2 + 4x - 8$ , qui est bien égal à $(2x+1)^2 - 9 = 4x^2 + 4x + 1 - 9$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Que signifie « factoriser une expression » ?

C'est transformer une somme ou une différence en un produit de facteurs (« faire réapparaître les parenthèses »).

Quelle est la formule de factorisation de

a^2 - b^2

?

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Comment factorise-t-on

9x^2 - 16

?

$(3x - 4)(3x + 4) \quad (\text{car } (3x)^2 - 4^2)$

Quelle est la factorisation de

15x^2 - 10x

par son facteur commun maximal ?

$5x(3x - 2)$

Que vaut la factorisation de

4x + 4

?

$4(x + 1)$
(Attention à ne jamais oublier le $+1$ !)

Factoriser

x^2 - 64

.

$x^2 - 8^2 = (x-8)(x+8)$ .

Résoudre

x^2 - 49 = 0

en factorisant.

$(x-7)(x+7) = 0$ , donc $x = 7$ ou $x = -7$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Facteur commun évident

Palier 1 · découverte

Factoriser au maximum l'expression $A = 12x - 8$ (mettre en facteur le plus grand facteur commun).

$4(3x - 2)$
$2(6x - 4)$
$4(3x + 2)$
$4x(3 - 2)$

Un indice

Cherche le plus grand diviseur commun entre 12 et 8.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $4(3x - 2)$

Exact ! 4 est le plus grand diviseur commun de 12 et 8 : $12x = 4 \times 3x$ et $8 = 4 \times 2$ .

$A = 4 \times 3x - 4 \times 2 = 4(3x - 2)$

Exercice 2 Différence de deux carrés $a^2 - b^2$

Palier 2 · application

Factoriser l'expression à l'aide d'une identité remarquable :
$B = 9x^2 - 25$

$(3x - 5)(3x + 5)$
$(3x - 5)^2$
$(9x - 5)(9x + 5)$
$(3x - 25)(3x + 25)$

Un indice

Reconnais la forme $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a^2 = 9x^2$ et $b^2 = 25$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $(3x - 5)(3x + 5)$

Parfait ! $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$ .

$B = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$

Exercice 3 Facteur commun parenthèse (Type Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Factoriser l'expression suivante :
$C = (2x - 3)(x + 5) + (2x - 3)(3x - 1)$

$(2x - 3)(4x + 4)$ ou $4(2x - 3)(x + 1)$
$(2x - 3)(4x - 6)$
$(2x - 3)^2(4x + 4)$
$(2x - 3)(2x + 6)$

Un indice

Souligne le facteur commun $(2x - 3)$ présent dans les deux termes, puis ouvre un grand crochet.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $(2x - 3)(4x + 4)$ ou $4(2x - 3)(x + 1)$

Brillant ! $(2x-3)$ est le facteur commun. On rassemble : $[(x+5) + (3x-1)] = [4x + 4] = 4(x+1)$ .

$C = (2x - 3)[ (x + 5) + (3x - 1) ] = (2x - 3)(x + 5 + 3x - 1) = (2x - 3)(4x + 4) = 4(2x - 3)(x + 1)$

Exercice 4 Défi Seconde : Différence de deux carrés complexe

Palier 4 · défi

Factoriser complètement l'expression :
$D = (2x - 3)^2 - 25$

$(2x - 8)(2x + 2)$ ou $4(x - 4)(x + 1)$
$(2x - 28)(2x + 22)$
$(2x - 8)^2$
$4x^2 - 12x - 16$

Un indice

Reconnais la structure $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ , sachant que $25 = 5^2$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $(2x - 8)(2x + 2)$ ou $4(x - 4)(x + 1)$

Brillant ! C'est la forme $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = (2x-3)$ et $b = 5$ .

$D = (2x - 3)^2 - 5^2 = [ (2x - 3) - 5 ][ (2x - 3) + 5 ] = (2x - 8)(2x + 2) = 4(x - 4)(x + 1)$

Objectifs du chapitre

Le cours

1. Qu'est-ce que factoriser ? « Faire réapparaître les parenthèses »

2. Méthode 1 : Recherche d'un facteur commun évident

3. Méthode 2 : L'identité remarquable a2−b2a^2 - b^2a2−b2 (Différence de deux carrés)

4. Méthode 3 (Brevet) : Facteur commun parenthèse

À retenir pour le brevet

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Factoriser une expression de Brevet avec facteur commun parenthèse

Méthode : Factoriser avec a2−b2a^2 - b^2a2−b2 pour résoudre une équation

Pièges fréquents

Questions de révision

Exercices corrigés

Exercice 1 Facteur commun évident

Exercice 2 Différence de deux carrés a2−b2a^2 - b^2a2−b2

Exercice 3 Facteur commun parenthèse (Type Brevet)

Exercice 4 Défi Seconde : Différence de deux carrés complexe

3. Méthode 2 : L'identité remarquable $a^2 - b^2$ (Différence de deux carrés)

Méthode : Factoriser avec $a^2 - b^2$ pour résoudre une équation

Exercice 2 Différence de deux carrés $a^2 - b^2$