Calcul littéral en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Maîtriser la distributivité simple $k(a+b) = ka+kb$ et la double distributivité $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$ .
Comprendre que « Développer, c'est transformer un produit en somme algébrique (perdre les parenthèses) ».
Connaître par cœur et savoir appliquer les 3 identités remarquables pour développer.
Savoir supprimer des parenthèses précédées d'un signe $+$ ou d'un signe $-$ et réduire une expression.

Le cours

1. Distributivité simple et double : « Perdre les parenthèses »

Développer, c'est transformer un produit en somme ou différence (perdre les parenthèses).
Simple distributivité : $k(a + b) = ka + kb$ et $k(a - b) = ka - kb$
Double distributivité : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
Règle des signes en produit : $(+) \times (+) = +$ ; $(-) \times (-) = +$ ; $(+) \times (-) = -$ .

2. Les 3 identités remarquables (Formules de développement du Brevet)

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :
1. Carré d'une somme : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. Carré d'une différence : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. Produit de la somme par la différence : $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
Attention : ne jamais oublier le double produit $2ab$ !

3. Suppression de parenthèses précédées de + ou -

Précédées de $+$ : on retire les parenthèses sans rien modifier : $A + (B - C) = A + B - C$ .
Précédées de $-$ : on change TOUS les signes intérieurs : $A - (B - C) = A - B + C$ .
Si un produit est précédé d'un signe $-$ : développer d'abord le produit à l'intérieur de crochets protecteurs, puis distribuer le signe moins !

4. Réduction et simplification d'expressions littérales

Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les termes en $x^2$ ensemble, les termes en $x$ ensemble, et les constantes ensemble.
Exemple : $3x^2 + 5x - 7 + 2x^2 - 8x + 4 = (3+2)x^2 + (5-8)x + (-7+4) = 5x^2 - 3x - 3$ .

À retenir pour le brevet

Développer, c'est transformer un produit en somme : $k(a+b) = ka + kb$ et $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ .
Les trois identités remarquables : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ , $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ .
Un signe moins devant un produit : on développe d'abord le produit entre crochets, puis on change tous les signes.
Pour prouver qu'une égalité est vraie pour tout $x$ , on développe ; un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'elle est fausse.

Automatismes (questions flash) :

Développer $(x+4)^2$ → $x^2 + 8x + 16$ .
Calculer $99^2$ de tête → $(100-1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801$ .
Calculer $49 \times 51$ de tête → $(50-1)(50+1) = 2\,500 - 1 = 2\,499$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Développer une expression complexe avec crochets protecteurs

Exemple

Développer et réduire $E = (3x - 2)^2 - (2x + 1)(x - 4)$ .

Étape 1 (Identité remarquable) : $(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$ .
Étape 2 (Double distributivité entre crochets) : $(2x + 1)(x - 4) = [ 2x^2 - 8x + x - 4 ] = [ 2x^2 - 7x - 4 ]$ .
Étape 3 (Distribuer le signe moins) : $E = (9x^2 - 12x + 4) - [ 2x^2 - 7x - 4 ] = 9x^2 - 12x + 4 - 2x^2 + 7x + 4$ .
Étape 4 (Réduction finale) : $E = (9 - 2)x^2 + (-12 + 7)x + (4 + 4) = 7x^2 - 5x + 8$ .

Méthode : Démontrer une égalité « pour tout nombre $x$ »

Exemple

Démontrer que, pour tout nombre $x$ , $(x+3)^2 - (x-3)^2 = 12x$ . En déduire la valeur de $103^2 - 97^2$ sans calculatrice.

Étape 1 (Développer le premier carré) : $(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$ .
Étape 2 (Développer le second carré) : $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$ .
Étape 3 (Soustraire en gardant les parenthèses) :
$(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = 12x$ .
L'égalité est donc vraie pour tout nombre $x$ .
Étape 4 (Application) : avec $x = 100$ , on a $x + 3 = 103$ et $x - 3 = 97$ , donc $103^2 - 97^2 = 12 \times 100 = 1\,200$ .
(Contrôle : $10\,609 - 9\,409 = 1\,200$ .)

Pièges fréquents

Oublier le double produit $2ab$ : $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ ! $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ .
Dans $(2x)^2$ , oublier d'élever le 2 au carré : $(2x)^2 = 4x^2$ et NON $2x^2$ !
Attention au signe $-$ devant un produit : $A - (x-1)(x+2) = A - [x^2 + x - 2] = A - x^2 - x + 2$ .
Tester quelques valeurs ne prouve pas qu'une égalité est vraie pour tout $x$ : il faut développer. En revanche, un seul contre-exemple suffit à prouver qu'elle est fausse.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la formule développée de

(a + b)^2

?

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(Ne jamais oublier le double produit $2ab$ !)

Quelle est la formule développée de

(a - b)(a + b)

?

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Que donne le développement de

(2x - 3)^2

?

$(2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

Que signifie « développer une expression » ?

C'est transformer un produit en une somme algébrique (« perdre les parenthèses »).

Que donne le développement de

(x - 5)^2

?

$x^2 - 10x + 25$

Développer

3x(2x - 5)

.

$3x \times 2x - 3x \times 5 = 6x^2 - 15x$ .

Calculer

49 \times 51

sans calculatrice.

$(50-1)(50+1) = 50^2 - 1^2 = 2\,500 - 1 = 2\,499$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Simple distributivité

Palier 1 · découverte

Développer et réduire l'expression :
$A = 4(3x - 5)$

$12x - 20$
$12x - 5$
$7x - 20$
$12x + 20$

Un indice

Distribue le $4$ sur chacun des deux termes dans la parenthèse : $k(a - b) = ka - kb$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $12x - 20$

Parfait ! $4 \times 3x = 12x$ et $4 \times (-5) = -20$ .

$A = 4 \times 3x + 4 \times (-5) = 12x - 20$

Exercice 2 Double distributivité avec soustraction

Palier 2 · application

Développer et réduire au maximum :
$D = (2x + 1)(3x - 4)$

$6x^2 - 5x - 4$
$6x^2 + 5x - 4$
$6x^2 - 4$
$5x^2 - 5x - 4$

Un indice

Applique $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ . Attention aux signes !

Voir la correction

Bonne réponse : A. $6x^2 - 5x - 4$

Exact ! $2x \times 3x = 6x^2$ , $2x \times (-4) = -8x$ , $1 \times 3x = 3x$ , $-8x + 3x = -5x$ , et $1 \times (-4) = -4$ .

$D = 2x \times 3x + 2x \times (-4) + 1 \times 3x + 1 \times (-4) = 6x^2 - 8x + 3x - 4 = 6x^2 - 5x - 4$

Exercice 3 Développer une expression avec parenthèses précédées de (-) (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

On considère l'expression $F = (2x + 3)^2 - (x - 1)(2x + 3)$ .
Développer et réduire $F$ . Quel coefficient obtient-on devant $x^2$ ?

Un indice

Développe $(2x+3)^2$ avec l'identité remarquable, et développe $(x-1)(2x+3)$ entre crochets pour ne pas te tromper avec le signe moins.

Voir la correction

Réponse attendue : 2

1. Développons $(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$ .
2. Développons le produit : $(x - 1)(2x + 3) = 2x^2 + 3x - 2x - 3 = 2x^2 + x - 3$ .
3. Soustraction en changeant les signes :
$F = (4x^2 + 12x + 9) - (2x^2 + x - 3) = 4x^2 + 12x + 9 - 2x^2 - x + 3 = 2x^2 + 11x + 12$
Le coefficient devant $x^2$ est donc bien $2$ .

Exercice 4 Défi Seconde : Enchaînement de développements complexes

Palier 4 · défi

Développer et réduire au maximum l'expression suivante :
$G = (3x + 2)^2 - (2x - 1)(3x + 2)$

$3x^2 + 11x + 6$
$3x^2 + 13x + 6$
$3x^2 + 11x + 2$
$9x^2 + 11x + 6$

Un indice

Développe $(3x+2)^2$ d'un côté, et développe le produit $(2x-1)(3x+2)$ entre crochets, puis distribue le signe moins.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $3x^2 + 11x + 6$

Brillant ! $(3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$ et $(2x-1)(3x+2) = 6x^2 + x - 2$ . En soustrayant : $(9-6)x^2 + (12-1)x + (4-(-2)) = 3x^2 + 11x + 6$ .

1. Premier carré : $(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$
2. Second produit entre crochets :
$(2x - 1)(3x + 2) = [ 6x^2 + 4x - 3x - 2 ] = [ 6x^2 + x - 2 ]$
3. Soustraction en inversant les signes :
$G = (9x^2 + 12x + 4) - [ 6x^2 + x - 2 ] = 9x^2 + 12x + 4 - 6x^2 - x + 2 = 3x^2 + 11x + 6$

Objectifs du chapitre

Le cours

1. Distributivité simple et double : « Perdre les parenthèses »

2. Les 3 identités remarquables (Formules de développement du Brevet)

3. Suppression de parenthèses précédées de + ou -

4. Réduction et simplification d'expressions littérales

À retenir pour le brevet

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Développer une expression complexe avec crochets protecteurs

Méthode : Démontrer une égalité « pour tout nombre xxx »

Pièges fréquents

Questions de révision

Exercices corrigés

Exercice 1 Simple distributivité

Exercice 2 Double distributivité avec soustraction

Exercice 3 Développer une expression avec parenthèses précédées de (-) (Brevet)

Exercice 4 Défi Seconde : Enchaînement de développements complexes

Méthode : Démontrer une égalité « pour tout nombre $x$ »